偷偷告訴你一個高技巧玩遊戲秘籍
熊蟲念什麼
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一本。
對於一個無模式可循的集合，很難掌握其規律，但數學家可以依靠簡單的邊界值來幫助回答他們心中的疑問。
躲雨或者休閒的時候，玩個簡單的數字遊戲打發時間吧！
咱們輪流從 {1,2,3,…,9} 這個列表中劃掉數字，規則是不可以有3個連在一起的數字被劃掉，先劃到三連數字的人認輸。
來吧！你可以先開始。
假設經過四步，我們劃掉了這些數字：
又輪到你了。注意，如果你劃掉4，你就輸了，因為有3個被劃掉的數字連在一起了：3-4-5。劃掉7你也輸了，因為是7-8-9。你只能劃掉1，2或者6。但是無論你選其中的哪一個，我都可以透過再劃掉另一個，讓你沒有可劃的數字。
這是一個簡單的遊戲，但卻用到了有趣的數學。一種方法是創造“缺口”，這樣一來你的對手就沒有別的選擇，只能從中間補全一個“3連劃”，就像這樣：
另一個方法就是緊跟你的對手，迫使他們從左邊或右邊補全“3連劃”，像這樣：
不管你才用什麼策略，有一件事情在數學上是確定無疑的：
走過 6 步之後，必定有人會贏。
這是因為從9個數字中劃掉7個，必然會有3個被劃掉的數字連在一起。（不信的話可以試試看，我們將在最後的練習中討論這個問題。）在這種情況下我們說6是這個遊戲中可走步數的“上限”。
所以，即使我可能不知道走哪步最好，但我們可以確定，這遊戲最多玩不過6步就可以決出勝負。接下來我們可以拓展一下。將列表擴充為1-15的話，最多走10步可以出現贏家，概括來說，如果列表中數字個數可以被3整除的話，最多可以劃掉2/3的數字。
找到這樣的上限是理解遊戲的一個步驟：例如，上限可能引導我們想出獲勝的策略，或者當列表大小不是3的倍數時，上限可以作為一個參考量。雖然知道上限看起來並沒有很大幫助，但相比於類似的規則的遊戲，它已經是很大的進步了。
舉個例子，我們把規則稍微改一下，3個劃掉的數字不必都緊挨著，可以間隔一個固定長度。這意味著如果你劃掉一個數字正好湊成2 3 4，你就輸了（就像在原版遊戲中一樣），如果是1 3 5（間隔2）或者1 4 7，你也輸了。這些模式是“等差數列”：間隔相同步長（稱為公差）的數字序列。
回到我們第一盤遊戲，使用新規則。還是輪到你，不過這次你已經輸掉了。
劃掉1會湊成1 3 5，劃掉2湊成2 5 8，4湊成3 4 5，6湊成3 6 9，7湊成7 8 9。你走任何一步都會產生一個被劃掉的等差數列。這裡有很多可以注意的東西，這導致遊戲比原版複雜得多，並且也更難找到安全步數的上限。
對於數學家來說，真正的樂趣在於把一個簡單的數字遊戲變成跟數學本身玩遊戲。他們的目標是算出到底能走多少步就必然有人輸掉，而且是在任意大小的數字串上。換句話說給定任意長度的數字序列，可以劃掉多少數字而劃掉的數字不形成一個等差數列？規則聽起來簡單的不能再簡單，但是我們並不知道答案，並且我們對遊戲的其他變化形式知道的更少。我們再玩幾局遊戲，看看數學會把我們領向哪裡。
在我們的等差數列遊戲中，一系列的“安全操作”其實本質上是一個“Salem-Spencer集”，即 {1，2，3，4，5，6，7，8，9} 中一個不含等差數列的子集。所以我們之前所說的上限實際上是對於我們這串數字最大的Salem-Spencer集。但是要知道走哪些步才能達到上限卻很難辦到。來看為什麼。
我們從一個新的數字串開始。誰也不可能在頭兩步就輸掉，所以隨便選兩個數字，直接劃掉3和5。
然後選擇第3個數字，這時候要注意了。就像原版遊戲裡一樣，我們必須小心不要從已劃數字的旁邊或者中間做出等差數列。比如我們不能選4，因為3 4 5；不能選1，因為1 3 5 ，不能選7，因為3 5 7。因為8是安全的，所以就劃掉它吧。
情況要變複雜了。現在要考慮的等差數列多了許多，我們要盯著三對劃掉的數字。
一方面，我們對於將要發生的事情有很好的認識。對於每一對數字，我們都需要避免從中間或者旁邊形成等差數列。但事情並不像我們希望的那樣可以預測。一開始劃掉的3和5消除了三個可能的選擇：1，4和7。但是3和8不消除任何選擇，因為我們必須避免的數字：-2，5。5和13並不在數字列表中。5和8只消除了2，因為6。5和13都不可選。
我們做出的每個選擇都會消除一些未來的選擇，但消除多少取決於我們選擇什麼數字。這一不規則性讓窮盡所有可能性變得困難，我們也不再那麼容易能夠確定所有數字列表情況的上限了。
回到我們的遊戲。我們看到6是安全的，所以我們劃掉它。
遊戲到此結束：下一步沒有安全的選項了。我們已經知道1，2，4和7會輸，劃掉9會產生等差數列3-6-9。我們已經盡力了。
這意味著包含我們安全操作的集合 {3，5，6，8} 是一個 Salem-Spencer 集。但它是最大的嗎？我們知道這個特定的集合不可能再大了，但是其他的策略可能產生更大的集合嗎？{1，2，3，4，5，6，7，8，9} 可以包含更大而不含3項的等差數列的子集嗎？
是有的：{1，2，6，8，9} 是此遊戲的安全操作的集合，因此是一個Salem-Spencer集。並且是最大的。因為我們知道對於集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，最大的Salem-Spencer集大小就是5。但是對於一般的n個元素的集合，{1，2，3，…，n}，我們不總是知道答案。事實上，對於現在來說，我們只知道 n ≤ 209 的答案。
數學家想知道，對於{1，2，3，…，n}，最大Salem-Spencer集中究竟有幾個元素。但是總體來說他們能做到的最多隻有確定一個範圍。即使是這也非常困難，部分是因為我們上面看到的不規律性。劃掉新數字可能消除許多選項，也可能只有幾個。在下面的表格中，你可以看到這種不規律性。表格列出了對於{1，2，3，…，n}，不同 n 值下最大Salem-Spencer集中究竟有幾個元素。
在我們 n = 9 的遊戲中，最大的Salem-Spencer集的大小是5。但是注意到如果我加上10這個數字，最大Salem-Spencer集的大小並不增加，仍舊是5。
另一方面，n 等於12到13到14的情況下，最大值從6增加到7到8。但再增加1需要n增加6。
像Roth定理和 Szemeredi 定理這樣的結果為這些集合和他們的變體的大小設定了界限，並且通常使用了大量數字和高等數學（比如遍歷理論與傅立葉變換）。舉例來說，菲爾茨獎得主蒂莫西·高爾斯在他關於更加廣義的 Szemeredi 定理的工作中，為不含 k 長度等差數列集合的大小建立了一個重要的上限。但如果我們想計算我們遊戲在 n = 9（數字列表的長度），k = 3（避免劃掉的等差數列長度）時的上限，我們的計算會包含估算2的4096次方的大小，一個具有1200位的數字！
雖然這樣的界限對我們的日常生活並不十分有用，但是對我們仍不能完全理解的集合，它給了我們一些數學上的掌控力。比如，直到最近我們還沒有“多項式序列”的界限（即等差數列的推廣，包括加法和升冪）。像2 + 3、2 +3²，2 +3³ 這樣的多項式序列比簡單的等差數列更復雜，從而使得選擇不含多項式序列子集的遊戲更難被理解。但建立上限是走向理解的另一步，這是每一個數字遊戲的數學目標。
練習
Q：證明： 數字序列是{1，2，3，4，5}的原始規則的遊戲中（連續劃掉3個間隔為1的數字就輸了），玩家1有一個獲勝策略。
A： 若玩家1劃掉3就可以穩贏。如果第二名玩家接著劃掉1或5中的一個，第一名玩家劃掉另外一個就可以獲勝。如果玩家2劃掉2，玩家1劃掉5；如果玩家2劃掉4，玩家1劃掉1。
Q：數字序列是{1，2，3，4，5，6}的遊戲中，任何一個玩家都有保證勝利的策略嗎？
A： 玩家2有獲勝的策略。假設玩家1從{1，2，3}中選擇一個數字。則玩家2應從{1，2，3}中選擇相鄰的一個數字。例如，如果玩家1選擇3，玩家2就選擇2。接下來，玩家1就必須從{4，5，6}中選擇一個數字。無論選哪個，玩家2都可以穩贏。如果玩家1最初選了集合{4，5，6}的數字，可以運用同樣的策略。
Q：數字序列是{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的原始規則的遊戲中，不可能安全地走7步。
（提示：將數字序列分成以下子集：{1，2，3}，{4，5，6} 和 {7，8，9}。）
A： 注意，從提示中劃掉三個子集中任何一個子集中的三個數字都將輸掉遊戲。走過6步之後，理論上我們可以在三個子集中的每一個子集中劃掉兩個數字。但無論第七步怎麼走，都將連成3個數字而結束比賽。這被稱為鴿子洞原則：把七隻鴿子放進三個洞裡，意味著至少一個洞裡必須有三隻鴿子。注意這與練習2中的獲勝策略相似。
Q： 找到{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11}的最大Salem-Spencer子集。
A： 一種策略是從兩端的數字開始，因為它們永遠不可能位於數列的中間。所以我們取1和11，這就排除了6。再次應用該策略選擇2和10，這樣3和9就不能再選了。從剩下的{4，5，7，8}中可以再取兩個，比如4和5。根據上表，最大的Salem Spencer子集是6。
作者：Patrick Honner
翻譯：xux
審校：Nuor
原文連結：
https：//www。quantamagazine。org/to-win-this-numbers-game-learn-to-avoid-math-patterns-20200507/
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環境乾燥就會脫水變成“酒桶”？
不怕輻射、真空、高溫、高壓，放進微波爐裡也沒關係？
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“不死神蟲”其實有厭世傾向，動不動就想進入隱生狀態？
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