「方向導數，梯度向量和切平面」圖解高等數學-下 12

外法線方向向量怎麼求

11。5 方向導數， 梯度向量和切平面

根據鏈式求導法則可知， 如果 f（x，y） 是可微的，則 f 沿曲線 x=g（t）， y=h（t） 對於 t 的變化率是下面式子：

上面式子 f 對於 t增量的變化率依賴於沿曲線運動的方向。

方向導數的解釋

函式 z=f（x，y） 表示空間曲面 S。 則點 P（x0， y0，z0） 在 S 上。 過點 P 和 P0 的 u 方向的垂直平面交 S 與曲線 C。 f 沿方向 u 的變化率是 C 在點 P 的切線的斜率。 觀察下面動畫：

方向導數推廣了兩個偏導數， 現在可以求沿任何方向的變化率了。

計算

一個更有效的計算 f 在 P0cbf；P0方向 u 的方向導數的公式，就是 u 與 f 在 P0P0 梯度的點選。

方向導數的性質

根據上式， 當 cosθ=1 時， u 與 ▽f 同方向時， 函式 f 增加最快， 類似， 反方向減少最快。 而正交於梯度的方式 u 是 f 變化率為 0 的方向， 此時 θ=pi/2。

函式 f（x） = x^2/2+y^2/2 在 （1，1） 增加最快的方向梯度的方向， 它對應於在點 （1，1，1） 在曲面上最陡峭的方向。

梯度和等高線的切線

函式 f（x，y） 的定義域的每個點 （x0，y0）（x0，y0）， f 的梯度正交於過 （x0，y0）（x0，y0） 的等高線。

建立互動等高線，把法線顯示為一個點：

增量和距離

f 沿方向 u 的變化有多少， 如從點 P0P0 沿 u 移動一點點距離 ds ， f 的值變化多少等於

方向導數乘以ds

。

三元函式

現在再看三元可微函式 f（x，y，z）， 與之對應的單位向量 ， 則

切平面和法線

三元可微函式 f（x，y，z） 的梯度向量滿足二元函式梯度的所有性質。

觀察下面 “-17+x+2 y+4 z=0” 的等位面上的切平面動畫：

（完）「予人玫瑰， 手留餘香」

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