數學分析：無窮大量的概念
定義
1
：設函式f在U0（x0）內有定義。 若對任給的G>0，存在δ>0，使得當
x∈U0（x0，δ）（U0（x0））時，有|f（x）|>G，則稱函式f當x→x0時有
非正常極限
∞
，
記作lim（ x→x0 ） f（x）=∞。
若f（x）>G或f（x）<-G，則稱f當x→x0時有非正常極限+∞或-∞，分別記作：
lim（ x→x0 ） f（x）=+∞或lim（ x→x0 ） f（x）= -∞。
定義
2
：對於自變數x的某種趨向（或n→∞時），所有以∞，+∞或-∞為非正常極限的函式（包括數列），都稱為
無窮大量
。
例
3
：證明lim（ x→0） 1/x^2 =+∞。
證
：任給G>0，要使1/x^2 >G=1/（√（1/G））^2 ，只要取δ=√（1/G）>0，
則當x∈U0（0，δ），就有1/x^2 >G，∴lim（x→0） 1/x^2 =+∞。
注
：無窮大量無界，但無界函式不一定是無窮大量。
如：f（x）=xsin x在U（+∞）無界，因對任何G>0，取x=2nπ+π/2，
當n>G/2π時，有f（x）=（2nπ+π/2）sin（2nπ+π/2）=2nπ+π/2>G。
但lim（ x→+∞）f（x）≠∞，
因若取數列xn=2nπ （n=1，2，…），則xn→+∞（n→+∞），
而lim（ x→+∞）f（xn）=0。
定理
3.13
：（1）設f在U0（x0）內有定義且不等於0。 若f為x→x0時的無窮小量，
則1/f為x→x0時的無窮大量。
（2）若g為x→x0時的無窮大量，則1/g為x→x0時的無窮小量。
證
：（1）若f為x→x0時的無窮小量，則對ε>0，存在正數δ，
使一切x∈U0（x0，δ），有|f（x）|<ε，則|1/f（x）|>1/ε。 取G=1/ε>0，
∵ε的任意性，∴G也具有任意性，
則對δ，當x∈U0（x0，δ），有|1/f（x）|>G。
∴1/f為x→x0時的無窮大量。 原命題得證。
（2）若g為x→x0時的無窮大量，則對G>0，存在正數δ，
使一切x∈U0（x0，δ），有|g（x）|>G，則|1/g（x）|<1/G。
取ε=1/G>0，∵G的任意性，
∴ε也具有任意性，則對δ，當x∈U0（x0，δ），有|1/g（x）|<ε。
∴1/g為x→x0時的無窮小量。 原命題得證。
例
：證明：（1）當a>1時，lim（ x→+∞）a^x=+∞；lim（ x→-∞） a^x=0。
（2）當0 證 ：（1）當a>1時，任給G>0（不妨設G>1），要使a^x>G， 即x>log_a G，只要取M=log_a G>0， 則對一切x>M，都有a^x>G，∴lim（ x→+∞） a^x=+∞。 當a>1時，任給ε>0（不妨設ε<1）， 要使|a^x|=a^x<ε，即x 只要取M= - log_aε>0，則當x<-M時， 就有|a^x|<ε，∴lim（x→-∞）a^x=0。 （2）當0 則lim（ x→+∞） a^x=lim（y→-∞） b^y=0； lim（ x→-∞） a^x=lim（ y→+∞） b^y=+∞。
