導數、微分、積分之間的區別與聯絡

微分就是求導的過程嗎

兒子現在上高中物理競賽，需要補充些微分的知識，我把孩子問到的問題講解後用形象的語言整理了一下，恰好近期在整理初高中銜接知識點

導數：曲線某點的導數就是該點切線的斜率，在物理學裡體現了是瞬時速度，二階導數則是加速度。這個是由牛頓提出並研究的方向。

微分：也就是把函式分成無限小的部分，當曲線無限的被縮小後，可以近似當作直線對待，微分也就能表示為導數與dx的乘積。這個是萊布尼茲提出並研究的方向。

其實導數和微分本質上說並無區別，只是研究方向上的差異。

積分：定積分就是求曲線與x軸所夾的面積；不定積分就是該面積滿足的方程式 ，因此後者是求定積分的一種手段，本質上來說，不定積分就是變限的定積分。

換一個角度來說：

導數y‘是函式在某一點的變化率，微分是改變數，導數是函式微分與自變數微分之商，即y’=dy/dx，所以導數與微分的理論和方法統稱為微分學（已知函式，求導數或微分）。積分則是微分學的逆問題。

極限是微分、導數、不定積分、定積分的基礎，最初微積分由牛頓、萊布尼茨發現的時候，沒有嚴格的定義，後來法國數學家柯西運用極限，使微積分有了嚴格的數學基礎。極限是導數的基礎，導數是極限的化簡。微分是導數的變形。

微分：無限小塊的增量可以看作是變化率，也就是導數。 積分：無限小塊的面積和可以看作是整個面積。

可導必連續，閉區間上連續一定可積，可積一定有界。

拓展資料

導數

導數是微積分中的重要基礎概念。當函式y=f（x）的自變數x在一點x0上產生一個增量Δx時，函式輸出值的增量Δy與自變數增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f‘（x0）或df（x0）/dx。 導數是函式的區域性性質。

一個函式在某一點的導數描述了這個函式在這一點附近的變化率。如果函式的自變數和取值都是實數的話，函式在某一點的導數就是該函式所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是透過極限的概念對函式進行區域性的線性逼近。

例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。 不是所有的函式都有導數，一個函式也不一定在所有的點上都有導數。若某函式在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函式一定連續；不連續的函式一定不可導。

對於可導的函式f（x），x↦f’（x）也是一個函式，稱作f（x）的導函式（簡稱導數）。尋找已知的函式在某點的導數或其導函式的過程稱為求導。實質上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運演算法則也來源於極限的四則運演算法則。反之，已知導函式也可以倒過來求原來的函式，即不定積分。微積分基本定理說明了求原函式與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最為基礎的概念。