冪函式求導的基礎及拓展，千萬不要錯過，導數的基礎一定要會

冪函式是一種基本初等函式，它的一般形式是y=x^a， 其中指數a是有理數，底數x是自變數，冪做為函式。不過我們在探究冪函式的導數時候，是從指數為正整數開始的。

這就要運用到導數的定義公式：f‘（x）=lim（h->0）（（f（x+h）-f（x））/h），這裡f（x）=x^n，代入定義公式後，就得到f’（x）=lim（h->0）（（（x+h）^n-x^n）/h），接下來對（x+h）^n運用牛頓二項式展開式，得到（x+h）^n=x^n+C（n，1）h·x^（n-1）+C（n，2）h^2·x^（n-2）+…h^n，從而得到f‘（x）=lim（h->0）（（（C（n，1）h·x^（n-1）+C（n，2）h^2·x^（n-2）+…h^n）/h）=f’（x）=lim（h->0）（（C（n，1）x^（n-1）+C（n，2）h·x^（n-2）+…h^（n-1））=nx^（n-1）。

這就是冪函式求導的第一個公式：（x^n）‘=nx^（n-1），n為正整數。 而當n=0時，x^n=1，易證1的導數等於0，因為f’（x）=lim（h->0）（（f（x+h）-f（x））/h）=lim（h->0）0=0。 同理我們還可以證明知道任意常量函式的導數都等於0。

再結合積的求導公式：（uv）‘=u’v+uv‘，我們就可以求單項式mx^n的導數（mx^n）’=mnx^（n-1），其中m為係數。並且由和的求導公式：（u+v）‘=u’+v‘就可以求一切多項式的導數。

接下來由函式倒數的求導公式：（1/f）’=-f‘/f^2， 我們又可以把冪函式求導的指數推廣到負整數的範圍，即x^（-n）’=-（x^n）‘/x^（2n）=-nx^（-n-1）。

然後利用複合函式的求導公式f（g（x））’=f‘（g（x））·g’（x），我們就可以把冪函式求導的指數推廣到實數的範圍內。即求x^a的導數，a為任意實數。這時可以藉助指數函式和對數函式的互逆性，構造複合函式e^（lnx^a）=e^（alnx），其導數（x^a）‘=（e^（alnx））’=x^a·a/x=ax^（x-1）。 這就得到了冪函式的一般求導公式了。

繼續拓廣，還可以得到任意根式的求導公式，因為根式其內涵仍是冪函式為外函式的複合函式。