借力打力求導數，如果一個函式不好求導，不妨先求它反函式的導數
本篇是上一篇文章
為了打通微積分的“任督二脈”，讓我們來愉快地求導數吧
的延續閱讀。
在對冪函式
y=x^μ
求導時，我們用到了以自然常數
e
為底數的對數函式
y=ln x
的求導結果
（ln x）'=1/x。
那麼，它的求導過程是怎麼樣的呢？我們一起來了解一下。
對數函式
y=log(a)x
直接求導是很難實現的，因為
[log(a)（x+h)-log(a)x]
沒法繼續合併或分解。但前文中，我們已經求得了指數函式
y=a^x
的導數，
(a^x)'=a^x*ln a。
既然兩者互為正反函式，我們據此，來推導一下它們的導數之間的關係。
值得注意的一點是，對數函式
y=log(a)x
和指數函式
y=a^x
互為正反函式，是從它們的函式法則上講的。對於反函式
y=log(a)x或f(x)=log(a)x，
它的正函式（或直接函式）表示式應為：
x=a^y
或
g(y)=a^y。
設存在一個直接函式（或正函式）
x=g(y)
（導數已知）
，
它的反函式為
y=f(x)。
直接函式（或正函式）
x=g(y)
的導數
g'(y)=△x/△y
，而反函式
y=f(x)
的導數
f'(x)=△y/△x。
所以有
f'(x)=1/g'(y)。
也就是說，
正反函式的導數互為倒數。
導數是需要極限運算的，上式中的g‘（y）和f’（x）略去了極限字元lim，但這不影響兩者的互為倒數關係。
我們先對直接函式
g(y)=a^y
求導，得：
g'(y)=a^y*ln a。
那麼，反函式
f(x)=log(a)x
的導數
f'(x)=1/（a^y*ln a）。
再把
x=a^y
代入上式，得：
f'(x)=1/（x*ln a），
記作
(log(a)x)'=1/（x*ln a）。
取
a=e
時
，（ln x）'=1/x。
比較常見的正反函式還有三角函式和反三角函式。
我們以正弦函式和正切函式為例，來推導一下它們的反函式的導數。
先給出正弦函式y=sin x的導數f‘（x）=cos x，正切函式y=tg x的導數f’（x）=sec^2 x。在後面的文章裡我們會再做推導，歡迎關注閱讀。
1、
設正弦函式
x=sin y
為直接函式，它的反函式為反正弦函式
y=arc sin x
。略過對定義域的討論，我們直接推導：
(arc sin x)'=1/(sin y)'=1/cos y。
接下來，我們把餘弦
cos y
轉換成正弦
sin y，
並進一步轉換成
x。
因為，
cos y=√(1-sin^2y)=√(1-x^2)，
所以有，
(arc sin x)'=√(1-x^2)。
2、
設正切函式
x=tg y
為直接函式，它的反函式為反正切函式
y=arc tg x
。略過對定義域的討論，我們直接推導：
(arc tg x)'=1/(tg y)'=1/sec^2 y。
接下來，我們把正割
sec y
轉換成正切
tg y，
並進一步轉換成
x。
因為，
sec^2 y=1+tg^2 y=1+x^2，
所以有，
(arc tg x)'=1+x^2。
看到此處，有的小夥伴可能會產生一些困惑：怎麼一會
y，
一會
x
的，鬧哪樣啊？
對於反函式
y=f(x)
，
x
是自變數，
y
是因變數；而對於直接函式（或正函式）
x=g(y)，y
是自變數，
x
是因變數。但在計算過程中，自變數和因變數的身份已經不重要了，重要的是
x
與
y
之間的函式法則不變。
比如，上面的等式
(arc sin x)'=1/cos y，
我們用
y'
來替代
f'(x)，
即
y'=f'(x)=(arc sin x)'。
可以得到一個新的等式：
y'=1/cos y
。等式裡已經看不到自變數
x，
但這樣的表示式也是成立的，因為它已經是一個微分方程了
。
無論原函式還是導函式，我們都可以把它看作是一個方程式。式中，無論
x、y、x'、y'、dy、 dx
，都是可以同時存在的，只要它們遵循正確的函式法則。
而我們要做的，是把它們轉換成我們需要的樣子。
