高等數學——導數的定義和常見導數

導數是微積分也是高數當中很重要的一個部分，不過很遺憾的是，和導數相關的部分很多同學都是高中的時候學的。經過了這麼多年，可能都差不多還給老師了。所以今天的文章就一起來溫習一下導數的相關知識，撿一撿之前忘記的內容。

函式切線

關於導數，最經典的解釋可能就是切線模型了。以前高中的時候，經常對二次函式求切線，後來學了微積分之後明白了，所謂的求切線其實就是求導。

比如當下， 我們有一個光滑的函式曲線 y = f（x），我們想要求出這個曲線在某個點 M 的切線，那麼應該怎麼操作呢？

如上圖所示，我們可以在選擇另外一個點N，然後做MN的割線。假設T是M的真實的切線，當我們將N向M無限逼近的時候，角NMT 在無限縮小，直到趨近與0，而此時的割線MN也就無限逼近於M點真實的切線T。

在圖中，MN的斜率表示為 tanφ，其中tanφ = f（x） - f（x0） / x - x0。

當N逼近於M時：

我們令

所以：

此時 tanφ 的結果就是函式在 x0 處導數的值，上面這個方法大家應該也都不陌生，在物理課上就經常見到，只不過在物理當中不叫極限也不叫逼近，稱為

微元法

。但不管叫什麼，意思是一樣的。我們理解了上面這些式子之後，再來看看導數真正的定義。

定義

假設函式 y = f（x） 在點 x0 處的鄰域內有定義，當自變數 x 在 x0 處取得增量∆x （x0 + ∆x 仍然在 x0 的鄰域內），相應的函式取得增量 ∆y = f（x0 + ∆x） - f（x0） 。如果 ∆y / ∆x 在 ∆x 趨向於0的時候極限存在，稱為函式 y = f（x） 在點 x0 處可導。它的導數寫成 f‘（x0）

f’（x0） 也可以記成

或者

如果函式 f（x） 在開區間

I

內可導，說明對於任意 x ∈

I

，都存在一個確定的導數值。所以我們就得到了一個新的函式，這個函式稱為是原函式 y = f（x） 的導函式，記作 f‘（x）。

不可導的情況

介紹完了常見函式的導函式之後，我們來看下導數不存在的情況。

導數的本質是極限，根據極限的定義，如果 limf（x） = a （x -> x0）。那麼，對於某個正數ε，對於任何正數δ，都有 0 < | x- x0| < δ時，|f（x） - a | < ε。那麼就稱為 x 趨向於 x0時，f（x） 的極限是a。

我們對上面的式子進行變形，可以得到，當∆x 趨向於0 時：

也就是說極限存在的條件是無論自變數從左邊逼近x0， 還是右邊逼近x0，它們的極限都存在並且相等。所以，函式 f（x） 在 x0 點可導的充分必要條件就是，函式在 x0 處的左右兩側的導數都必須存在，並且相等。

另一種不可導的情況是不連續，不連續的函式一定不可導。這一點其實很難證明，我們可以來證明它的逆否命題：可導的函式一定連續。

根據導數的定義，一個點的導數存在的定義就是 ∆y / ∆x 在 ∆x 趨向於0 時存在。即：

我們把極限符號去掉：

這裡的a是 ∆x 趨向於0 時的無窮小，我們隊上式兩邊同時乘上 ∆x ，可以得到：

由於 a 和 ∆x 都是無窮小，並且 f’（x） 存在，所以 ∆y 也是無窮小。而連續的定義就是當 ∆x 趨向於0時，∆y也趨向於0，所以得證。

反例

我們來舉一個反例：

它的函式影象長這樣：

我們試著來證明： f（x） 在 x=0 處不可導。

由於 f（x） 在 x=0 處的左右導數不等，和極限存在的性質矛盾，所以 f（x） 在 x=0 處不可導。但是我們從函式影象上可以看出來，顯然 f（x） = |x| 是一個連續函式。

常見函式的導數

我們再來看一下常見函式的導函式，其實我們瞭解了導數的定義之後，我們完全可以根據導函式的定義自己推算。但說實話，這些推算意思不大，所以我們直接跳過推算的部分，直接來看結論。

當然我們實際運用當中遇到的當然不只是簡單的函式，很多函式往往非常複雜。那麼對於這些複雜的函式，我們又應該怎麼來計算它們的導數呢？敬請期待我們下一篇的內容。

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