高數這兩個概念很容易混淆，連續到底是函式有原函式的什麼條件

瞭解高數的小夥伴們應該經常能聽到函式可積的概念。但是這個概念其實有點蒙糊，因為積分至少包括不定積分和定積分。“可積”到底指的是函式存在不定積分，還是可求定積分呢？這個說法似乎不太統一。

老黃以前沒有想過這個問題，所以也是一直把這兩個概念搞混的。直至老黃提出了一個問題，才發現，明確這個概念的必要性。這個問題是“連續到底是函式有原函式的什麼條件？”

我們知道，函式的不定積分，是它的所有原函式組成的函式族。也就是說，函式有原函式，就必然有不定積分，有不定積分，就必定有原函式。所以它們可以看作是等價的。那麼如果可積包括函式存在不定積分的話，連續對它們來說，條件就應該是相同的。但事實上並不是如此。

因為可積被更多地用於定積分的概念上，至少肯定包含可求定積分的意思。而如果函式存在第一類間斷點，對函式是否存在原函式，以及是否可積，是有不同的結論的。

因為如果函式有第一類間斷點，那麼函式就不會有原函式，但是如果函式只有有限多個第一類間斷點，卻不影響函式可求定積分。這可就尷尬了哦。所以我們只能幫不定積分選邊站，要麼把它算做等價於函式有原函式，那樣“可積”就沒有它的份。要麼把它算作定積分一邊的，那麼它就不能等價於函式有原函式。顯然，選擇前者，更加合理。所以以後老黃講

的

“可積”，就只針對函式可求定積分，而不是指函式有不定積分了。

講了這麼多，都只為了明確一個概念，肯定有很多聰明的小夥伴不開心，說老黃盡講廢話了。不過老黃覺得，明確一下這個問題還是很有必要的。至少它可以證明老黃是一個笨蛋嘛。

接下來就來點實際的，透過一個證明和一個舉例項，證明連續不是函式有原函式的必要條件。

證明：每一個含有第一類間斷點的函式都沒有原函式.

證：設x0是f(x)的第一類間斷點，若F(x)是f(x)在U(x0)上的原函式，【用反證法】

則F’(x)=f(x), x∈U(x0).

從而有(lim(x→x0- )f(x)=lim(x→x0- )F’(x)=F’-(x0)=F’(x0)=f(x0).

【核心只有這一步，第一步是簡單地代入，相信不少小夥伴看不懂第二個等號的意思，請容老賣一個關子，當然，如果你能自己想明白，那就再好不過了。