求lnx在x=2的泰勒展開式，哪種方法更簡便？結果可能出乎你的意料

學過高等數學的朋友應該都知道，lnx的麥克勞林公式是不存在的。因此很多初學者就想當然地以為lnx的泰勒公式也是不存在的，或者說是不可求的。然而，實際情況並不是這樣的。麥克勞林公式只是泰勒公式在x0=0的特殊形式。lnx的麥克勞林公式不存在，但lnx的泰勒公式卻未必不存在，也未必不可求。

首先解釋一下lnx的麥克勞林公式為什麼不存在。那是因為麥克勞林公式要用到函式在x=0函式值和各階導數值，而lnx在x=0沒有意義，自然就不存在x=0的函式值和各階導數值，因此lnx在x0=0的麥克勞林公式不存在。看到這裡，大家應該知道為什麼lnx的泰勒公式未必不存在了吧。因為lnx在x>0的任意點都有定義，且存在任意階導數，所以lnx在x>0的任意點的泰勒公式，都是存在的。那麼它是不是可求的呢？看完下面這道題，您就會明白了。題目是這樣的：

求lnx在x=2處的泰勒公式.

分析：由於許多初學者（包括不久前的老黃）都以為lnx的泰勒公式不存在，或者不可求，所以解決這個問題，就會刻意避開lnx的泰勒公式。就連教材，也是利用ln（1+x）的泰勒展開式，來解決這個問題的。下面直接分享教材的解法，再來分析教材為什麼要這樣

解

。

首先，提供ln（1+x）的麥克勞林公式，以做參考，這個公式是要求記住的：

ln（1+x）=x-x^2/2+x^3/3-…+（-1）^（n-1）x^n/n+o（x^n）。

解1：lnx=ln（2+（x-2））=ln（2（1+（x-2）/2）=ln2+ln（1+（x-2）/2）， 【這一步看起來是相當巧妙的】

記

u=（x-2）/2，則ln（1+u）=u-u^2/2+u^3/3-…+（-1）^（n-1）u^n/n+o（u^n）。 【這是換元法的運用，目的就是為了使解題過程更加簡便，然而它真的簡便嗎？】

ln（1+（x-2）/2）=（x-2）/2-（（x-2）/2）^2/2+（（x-2）/2）^3/3-…+（-1）^（n-1）（（x-2）/2）^n/n+o（（（x-2）/2）^n）

=（x-2）/2-（x-2）^2/8+（x-2）^3/24-…+（-1）^（n-1）（x-2）^n/（n*2^n）+o（（x-2）^n）

【注意高階無窮小o（（（x-2）/2）^n）和高階無窮小o（（x-2）^n）在意義上是等價，因為無窮小量的係數1/2^n並不影響它的階】

所以，lnx=ln2+（x-2）/2-（x-2）^2/8+（x-2）^3/24-…+（-1）^（n-1）（x-2）^n/（n*2^n）+o（（x-2）^n）。

繼續分析：顯然，教材並不是想告訴大家，lnx的泰勒公式是不可求的，而是想告訴大家，利用換元法，結合ln（1+x）的麥克勞林公式，解決這個問題更加簡便。但是初學者哪裡懂得這麼多，看到教材也刻意避開lnx的泰勒公式，就會更堅定地以為，lnx的泰勒公式不存在或不可求了。下面老黃就演示第二種解法，直接求lnx的泰勒公式，來比較一下，看看教材的方法是否真的比較簡便。

首先，提供泰勒公式的一般形式，以做參考，這個公式更是要牢記的：

f（x）=f（x0）+f‘（x0）（x-x0）/1！+f“（x0）（x-x0）^2/2！+…+f^（n）（x0）（x-x0）^n/n！+o（（x-x0）^n）。