有理數和無理數的區別與數學前沿知識補充

有理數和無理數的本質區別在於：

有理數與兩個整數之比等價，而無理數則與一個無限不迴圈小數等價。

一、常見的有理數型別

常見的有理數型別有如下幾種。

1。

整數

：所有的整數都是有理數。

2。

小數

：小數分類裡的有限小數、無限迴圈小數都是有理數。

3。

分數

：因為所有的分數不是與一個有限小數等價，就是與一個無限迴圈小數等價。即，分數化成小數的結果不是一個有限小數，就是一個無限迴圈小數。而這兩種型別的小數都是有理數，所以，

所有的分數都是有理數

。

【

注

】本文中的“分數”指的是分子、分母（分母不為0）都為整數的分數。

值得注意的是，在所有根式中，如果根式開方後的結果能化為上面幾種常見有理數的形式中的一種的話，那麼這個根式代表的實數也是有理數。如：因為8的立方根等於2，-64的立方根等於-4，所以8和-64的立方根都是有理數。

二、常見的無理數型別

常見的無理數型別有如下幾種。

1。

無限不迴圈小數

：如圓周率π、自然對數的底數e等。

2。

根式中開方開不盡的數

：如2的平方根、5的立方根、7的四次方根等。

【注】兩個有理數的和、差、積、商（除數不為0）仍是有理數。

兩個無理數的和、差、積、商可以是有理數，也可以是無理數

。

（1）

無理數的和、差、積、商為有理數

：如e+（1-e）、e-e、“根號2”的平方、e/e等。

（2）

無理數的和差積商為無理數

：π+e、π-e、πxe，π/e。

三、“數學前沿”課外補充

實數可以分為有理數和無理數，對任意一個實數來說，不是有理數就是無理數，二者必居其一。有理數和無理數是對全體實數的兩個分類。

雖然在實數範圍內有理數和無理數都有無窮多個，兩者似乎是“同樣多”的。但從高等數學裡的“測度論”的角度來理解的話，無理數的測度要大於有理數的測度，所以無理數要比有理數“多一些”。如：根據測度論，在閉區間［0，1］內，有理數的測度為0，而無理數的測度為1。所以，在閉區間［0，1］內，無理數的個數要“遠多於”有理數的個數。

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