考研數學：函式極值和最值求法，考生都說這種題型太簡單

本期文章要點如下：

函式極值的求法

：（1）用一階導數求之（第一充分條件）；（2）用二階導數求之（第二充分條件）；（3）根據定義求之；（4）利用泰勒公式結合前述各法判別之，並求出極值；（5）利用基本結論。

函式最值求法：

（1）函式值比較法；（2）單側極限比較法；（3）連續函式的唯一的極值點就是它的最值點。

函式極值的求法

求法一、用一階導數求之（第一充分條件）

設函式f（x）在點x0處的一個鄰域內可導，且f‘（x0）=0，或f’（x0）不存在，但f（x）在x=x0處連續。若f（x）在點x0的兩側鄰近導數異號，則f（x0）是函式f（x）的極值。當導數符號由正變負時，f（x0）是極大值；由負變正時，f（x0）是極小值。若f（x）在點x0的兩側鄰近導數不變號，則f（x0）不是極值。

注意：f(x)不存在的點，也可能是極值點如上例，可用該點左右兩側一階導數是否變號判別之。

因判斷一點處的f“（x）的符號比判斷一個區間上的f‘’（x）的符號要方便一些，所以對可導函式常用二階導數求其極值（見求法二）。

求法二、用二階導數求之（第二充分條件）

設函式f（x）在點x0處二階可導，且f‘（x0）=0，但f”（x ）≠0，則當f“（x0）>0時，f（x）在x0處取極小值f（x0）；當f”（x0）<0時，f（x）在x0處取極大值f（x0）。

求法三、根據定義求之

下面介紹如何根據定義討論函式的極值。題中沒有給出函式f（x）的具體表示式，又沒有假定f（x）可導，不能用前面與導數有關的判別法則，只能按定義判定某點是否為極值點。

這類命題有兩類常見題型：

一類是

給出抽象函式f(x)所滿足的極限式的題型

。【如例5例6】

對這類命題

常用有極限的函式的保號性

，

找出極限點的去心鄰域

，根據

定義判別；

或根據

函式與其極限之間關係

，列出等式推證；或用

極值存在的充分條件

與

極值定義

判別之，並求出極值。

另一類題型是抽象函式所滿足的條件不是極限式的命題。【如例7】對這類命題需利用所給條件及極限定義判斷之。

，

求法四、利用泰勒公式結合前述各法判別之，並求出極值。

在求極值或論證極值的問題中，如果涉及的既有函式值又有其高階導數時，可用泰勒公式將它們聯絡起來，進行計算或論證。

注意：對於一個可導函式在點x=x0處具有極值的必要條件是f'(x0)=0.當f"(x0)≠0時，則可利用其符號確定其達到極大值或極小值，但如f"(x0)=0，就不能利用前述法則來確定了。這時可以利用上述定理判別。

求法五、利用上述定理4。7。1判別之

函式最值得求法

求法一、函式值比較法

該法的方法與步驟如下：

求法二、單側極限比較法

若函式f（x）在開區間、半開區間或無窮區間內連續，為求函式在該區間上的最值。需求出區間內函式的全部極值和區間端點處函式的單側極限，如果單側極限最大，則函式在該區間內無最大值；如果單側極限最小，則函式在該區間內無最小值。

求法三、連續函式的唯一的極值點就是它的最值點。

據此若函式f（x）在區間I上連續，且在I上只有一個極值（極大值或極小值），則此極值（極大值或極小值）就是f（x）在I上的最值（最大值或最小值）。

具有上述特性的函式在I內的圖形只有一個“峰”或“谷”，自然這個“峰”或“谷”為其最大值或最小值。

作者水平有限，讀者思維無限，如有細節錯誤請見諒，若有好的想法，歡迎評論區留言！