斜率和切線的簡單介紹
直線的斜率及其與曲線切線的關係是微積分中的基本概念。對函式導數的一般理解很重要。
本文你將瞭解到：
一條線的斜率
f（x）在區間wrtx上的平均變化率
曲線的斜率
曲線某點的切線
讓我們往下看吧
教程概述
本教程分為兩部分；它們是：
直線和曲線的斜率
曲線的切線
線的斜率
讓我們從回顧一條線的斜率開始。在微積分中，直線的斜率將其陡度定義為一個數字。當從線上的一點移動到另一點時，透過將垂直方向的變化除以水平方向的變化來計算該數字。該圖顯示瞭如何從一條線上的兩個不同點A和B計算斜率。
從線上的兩點計算的線的斜率
一條直線可以由直線上的兩個點唯一地定義。一條線的斜率在這條線上的任何地方都是一樣的；因此，任何直線也可以由斜率和直線上的一個點唯一地定義。根據直線斜率定義的比率，我們可以從已知點移動到直線上的任何其他點。
曲線的平均變化率
我們可以將直線斜率的概念擴充套件到曲線的斜率。考慮下圖的左圖。如果我們想測量這條曲線的“陡度”，它會在曲線上的不同點發生變化。從A點移動到B點時的平均變化率為負，因為當x增加時，函式的值在減少。當從B點移動到A點時也是一樣。因此，我們可以在區間［x0，x1］上將其定義為：
（y1-y0）/（x1-x0）
我們可以看到，上面也是包含A點和B點的割線斜率的表示式。為了重新整理你的記憶，一條割線與曲線相交於兩點。
同樣，點C和點D之間的平均變化率是正的，它由包含這兩個點的割線的斜率給出。
曲線在一個區間上的變化率與在一個點上的變化率
定義曲線的斜率
現在讓我們看看上圖的右圖。當我們將B點移向A點時會發生什麼？我們稱這個新點為B‘。當點B’無限接近A時，割線將變成一條只與曲線接觸一次的線。這裡B‘的x座標是（x0+h），h是一個無窮小的值。B’點的y座標對應的值就是這個函式在（x0+h）處的值，即f（x0+h）。
區間［x0，x0+h］上的平均變化率表示長度為h的非常小的區間上的變化率，其中h接近於零。這稱為曲線在點x0處的斜率。因此，在任意點A（x0，f（x0）），曲線的斜率定義為：
曲線在A點的斜率表示式等價於f（x）在x0點的導數。因此，我們可以使用導數來找到曲線的斜率。您可以在本
教程中
回顧導數的概念。
曲線斜率示例
以下是曲線斜率的幾個示例。
f（x）=1/x在任意點k（k≠0）處的斜率由（-1/k^2）給出。舉個例子：
f（x）=1/x在（x=2）處的斜率是-1/4
f（x）=1/x在（x=-1）處的斜率是-1
f（x）=x^2在任意點k的斜率由（2k）給出。例如：
f（x）=x^2在（x=0）處的斜率為0
f（x）=x^2在（x=1）處的斜率是2
f（x）=2x+1的斜率是一個等於2的常數值。我們可以看到f（x）定義了一條直線。
f（x）=k，（其中k是常數）的斜率為零，因為函式在任何地方都不會改變。因此它在任何一點的平均變化率為零。
切線
前面提到過，任何直線都可以由它的斜率和穿過它的點唯一地定義。我們也剛剛定義了曲線在A點的斜率。使用這兩個事實，我們將曲線f（x）在A（x0，f（x0））點的切線定義為滿足兩個以下的：
線透過A
直線的斜率等於曲線在A點的斜率
使用以上兩個事實，我們可以很容易地確定點（x0，f（x0））處的切線方程。下面顯示了一些示例。
切線示例
1。f（x）=1/x
圖中顯示了f（x）以及x=1和x=-1處的切線的圖形。以下是確定x=1處的切線的步驟。
f（x）=1/x
斜率為m且y截距為c的直線方程為：y=mx+c
直線在任意點的斜率由函式f‘（x）=-1/x^2給出
曲線切線在x=1處的斜率為-1，我們得到y=-x+c
切線透過點（1，1），因此代入上述等式，我們得到：
1=-（1）+c？c=2
切線的最終方程為y=-x+2
2。f（x）=x^2
下面顯示的是曲線和點x=2、x=-2、x=0處的切線。在x=0處，切線平行於x軸，因為x=0處f（x）的斜率為零。
這就是我們如何計算x=2處的切線方程：
f（x）=x^2
斜率為m且y截距為c的直線方程為：y=mx+c
直線在任意點的斜率由函式f’（x）=2x給出
曲線切線在x=2處的斜率為4，我們得到y=4x+c
切線透過點（2，4），因此代入上述等式，我們得到：
4=4（2）+c？c=-4
切線的最終方程為y=4x-4
3。f（x）=x^3+2x+1
該函式及其在x=0、x=2和x=-2處的切線如下所示。下面是推匯出x=0處切線方程的步驟。
f（x）=x^3+2x+1
斜率為m且y截距為c的直線方程為：y=mx+c
直線在任意點的斜率由函式f‘（x）=3x^2+2給出
x=0處曲線的切線斜率為2，我們得到y=2x+c
切線透過點（0，1），因此代入上述等式，我們得到：
1=2（0）+c？c=1
切線的最終方程為y=2x+1
請注意，曲線在x=2和x=-2處具有相同的斜率，因此x=2和x=-2處的兩條切線是平行的。對於任何x=k和x=-k也是如此，因為f’（x）=f‘（-x）=3x^2+2
