代數數論概念系列文章——引入代數數論的討論(1)

想寫什麼？

代數數論為數論的一個分支，代數工具毫無疑問是代數數論的核心工具，素數（元）是代數數論裡最耀眼的明星。

筆者不是數學高手，寫這一系列的文章，不是用來說教，只想與讀者們一起學習探討。

對數學有興趣的人很多，但一旦深入一些學數學，很多人便沒有興趣了。很想讓數學類的文章有強大的吸引力，男人看了永遠18歲，女人看了永遠16歲。但這不可能，好比男人不可能永遠18歲，女人不可能永遠16歲。

想了很久，如何向沒有接觸過代數數論的讀者系統介紹代數數論，且讓讀者看了文章有所收穫，又讓文章稍微不是那麼無聊呢？或許有辦法，努力吧。

代數數論概念系列文章從最基礎的代數概念講起，力求寫出概念的內在聯絡。每一個定理的證明力求不跳過任何重要的步驟，讓僅有高中數學能力的人也能看得懂。

引入代數數論的討論

本文分成兩部分，用數論裡的兩個定理，向讀者們展示代數學對數論研究的有力推動，人類智慧的拓展，不要求讀者看懂。

本文第一部分敘述費馬定理的古典證明與代數證明。

（1）費馬定理的古典證明與代數證明

設a為任意整數，p為素數，那麼

費馬小定理左邊表示式

是p的倍數。用數學公式表述為

費馬小定理

費馬定理一般的表達公式為

a不為p的倍數的費馬定理公式

用這個公式表述費馬定理的時候，a不為p的倍數。

費馬定理有很多種的證明辦法，本文所敘述的證明方法非常經典，很容易看懂。

（a）

費馬定理的古典證明

假設a為正整數（

為什麼不用考慮a為負數的情況？

），且a不能被p整除，用p除數列

數列

可得餘數，這些餘數重新排序後構成數列

餘數數列

問讀者一個小問題，為什麼p與a， 2a， 3a， 。。。， （p-1）a分別相除得到的餘數的數量為p-1個呢，且重新排序後組成的數列如圖所示呢？

顯然有

得到

由此證明了

成立。

（b）

費馬定理的代數證明（群論）

這種證明方法利用了拉格朗日定理：子群的階（個數）整除群的階。

由群論裡的群定義可知，所有整數除以p，

餘數能得到一個整數集

群

該整數集在乘法意義上形成階為p-1的群，該群稱之為p-1階的迴圈群。

設a為正整數（

同問：為什麼不用考慮a為負數的情況？

），p不能整除a，由a除以p會得到一個餘數r，且1 ≤ r ≤ （p-1）。那麼必有某一個數k為滿足

費馬定理

的最小正整數，由拉格朗日定理得到kn = p-1（n為正整數），所以有

令a=pq + r（p為整數），a的p-1次方與r的p-1次方模p同餘，即

同餘

原因在於

還有什麼……

從而費馬定理成立。

有些數論定理用古典方法可以證明，有些定理則無法做到這一點。古典方法能證明費馬定理，但無法證明費馬大定理。神奇的是，當代代數做到了這一點。

本文的另一部分將講述代數數論領域的一些定理：素整數在實數域不能表述為其本身與1之外的兩個正整數的乘積，但在複數域可以表示為兩個高斯素數的乘積，這一陳述有著深刻的代數背景。