韓信點兵原來是數論故事！張益唐研究的數論，為何被稱為“數學的皇后”？
數學，作為人類思維的表達形式，需要縝密周詳的推理以及對完美境界的追求。數學研究既需要邏輯性、分析性和一般性，也需要直觀性、構作性和個別性。雖然不同的數學分支強調不同的側面，但這些互相對立的思維碰撞構成了數學科學的生命力、實用性及其崇高價值。
數論（Number Theory）是數學的一個分支，主要研究數的規律和整數性質。德國數學家高斯曾寫道：“數學是科學的皇后，而數論是數學的皇后”，數論研究中的各種猜想是數學皇冠上一顆顆璀璨的明珠。
11月8日，筆者線上聆聽了張益唐線上講解學術論文“離散均值估計和朗道-西格爾零點”，又重新感受到了曾在博士期間經受的數學研究帶來的快樂和煩惱。數論猜想可謂魅力無窮，幾代中國數學家也屢次收穫成果，其背後是吃苦耐勞、堅韌不拔和不圖名利、追求真理的科學家精神。
“韓信點兵”，原來是一個關於數論的故事
數論是數學研究最古老的方向。信奉“數即萬物”的古希臘數學家畢達哥拉斯在公元前6世紀就研究了整數的可除性問題，提出奇數、偶數、素數、複合數、完全數和親和數等概念。
演繹體系的集大成者歐幾里得公元前4世紀發現自然數的基本規律，指出素數有無窮多個，每個複合數都可以唯一地表示成素數的乘積，又求出兩個正整數最大公約數的演算法，建立了整除性的初步理論。
大約在公元前250年，埃拉託斯特尼發明了一種篩法，求出了不超過某個自然數N的全部素數，這是陳景潤和張益唐在研究“孿生素數猜想”時使用的主要方法。
公元4世紀，希臘化時期的數學家丟番圖用初等數論研究了一系列不定方程的求解問題，提出著名的丟番圖猜想。其著作《算術》的拉丁文譯本初刊於1621年，此後再版多次，成為17世紀以後歐洲學者研究並提出更多數論猜想的思想源泉。
中國人很早就有初等數論的研究和探討，在傳說中和歷史文獻中均有相關記載。“韓信點兵”便是知名的數論故事。秦朝末年，楚漢相爭，韓信率兵打仗。某次，他急需點兵迎戰，就命士兵佈陣三次（命3人一排，多出2名；命5人一排，多出3名；命7人一排，多出2名）後，直言有1073名勇士可擊垮敵兵，其神機妙算鼓舞士氣，旌旗搖動，大敗楚軍。
公元前1世紀的《周髀算經》中出現商高定理（勾股定理）；西漢初成書的《九章算術》標誌我國傳統數學體系的完備化，其中的“五家共井”問題，給出了不定方程組的整數解；公元4世紀的《孫子算經》中有“物不知數”問題，求解一次同餘式組，標誌著我國古代初等數論的程式化；公元5世紀的《張丘建算經》有“百雞問題”給出幾組不同的整數解；南宋數學家秦九韶的《數書九章》用“大衍求一術”解決了一次同餘式組的求解問題，傳之歐洲後被稱作“中國剩餘定理”。秦九韶被德國數學家、集合論的創始人康托爾稱為“最幸運的天才”。“科學史之父”薩頓稱秦九韶“是他那個民族、他那個時代，並且確實也是所有時代最偉大的數學家之一。”
每個著名猜想背後，都閃爍著數學家的智慧
17世紀以後，西方學界開始深入研究初等數論問題。
1640年，費馬在研讀丟番圖《算術》之後，提出一個數論命題：如果p是素數，那麼對於任何整數a，ap-a都是p的倍數，但他卻沒有給出證明。這個困擾數學界近100年的“費馬小定理”，1736年由尤拉給出證明，又將它推廣到複合數的情形。
1772年，拉格朗日證明了費馬提出的另一個定理：每一個正整數都可以用四個整數的平方和表示。1798年，勒讓德總結前人的數論成果，編著了第一部數論教科書。
1900年，希爾伯特在巴黎世界數學家大會上做了題為“數學問題”的經典報告，提出了23個意義深遠的數學難題，史稱“希爾伯特問題”。期間，他特別指出費馬大定理對於數論乃至整個數學領域的重要意義。依據希爾伯特的觀點，數學家庫默爾將高斯的復整數理論推廣到代數數，引入了理想數與分圓數，開創理想數論，開啟了從代數數論出發證明的新路徑。費馬大定理歷時350年後，1995年由英國數學家懷爾斯給出了完美的證明。
國內數學界或普通讀者都比較熟悉的哥德巴赫猜想，正是“希爾伯特問題”中一個著名的猜想。其內容是“任何不小於6的偶數都是兩個奇素數之和，任何不小於9的奇數都是三個奇素數之和”。這一問題於1742年由德國數學家哥德巴赫提出後，長期被懸置，20世紀初由哈代和李特爾伍德給出部分證明，又經我國陳景潤等數學家的推進，最終由蘇聯數學家維諾格拉朵夫等人解決。
在張益唐第一篇論文中解決的“孿生素數猜想”，被稱作是“哥德巴赫猜想”的姐妹問題，也是23個“希爾伯特問題”之一，1849年由波林那克提出。
2013年5月，張益唐證明孿生素數猜想的一個弱化形式，取得突破性進展。在不依賴未經證明推論的前提下，他發現存在無窮多個之差小於7000萬的素數對。其論文5月14號在網路上公開，5月21日正式發表。7天后，這個常數下降到了6000萬，10天后的5月31日，下降到了4200萬，又過了3天（6月2日）變成1300萬，次日成為500萬。6月5日，40萬。9個月後，張益唐的7000萬被縮小到246。在英國數學家蒂姆·高爾等人發起的“博學之人（Polymath）”計劃中，孿生素數猜想成為21世紀數學工作者們利用網路進行合作研究的一個典型案例。人們不斷改進張益唐的證明，推進著最終解決孿生素數猜想的距離。
百折不撓勇於進取，歷代學人的優秀品質書寫學界佳話
楊武之是我國第一位數學博士，也是中國現代數論研究的先驅和開拓者。正是楊武之將現代數論引進中國，並培養了大批人才。柯召和華羅庚就是楊武之在清華培養的學生。新中國成立後，華羅庚在中國科學院數學研究所組建討論班，帶領王元、陳景潤等人專門攻克哥德巴赫猜想。
北京大學數學系成立之初便有數論課程，也培養了一批重要學者，潘承洞、潘承彪為其中的佼佼者。上世紀50年代，潘承洞在研究中獲得關於算術數列中最小素數的上界定量估計，其結果被國內外文獻廣泛引用。60年代後，他主要從事哥德巴赫猜想的研究，為後來的證明打下了基礎。70年代在簡化陳（景潤）氏定理（1，2）時提出並證明了一條新的均值定理，是對邦別裡定理的重要推廣與發展。1982年，他與陳景潤、王元同獲國家自然科學獎一等獎。
張益唐於1978年考入北大數學系，1982年繼續攻讀研究生，攻克數論問題，指導老師就是潘承彪。他以優異成績畢業後赴美留學，本想師從著名數論學者亨裡克·伊萬涅茨，卻陰差陽錯做了別的數學研究。英雄相見恨晚，卻惺惺相惜，在屬於張益唐的2013年春天，伊萬涅茨應《數學年刊》主編之邀，審讀張益唐的論文，僅用三週時間看出其價值，推薦刊載於這個已有130多年曆史的數學界頂級期刊上。
張益唐2014年受邀在國際數學家大會上做特邀報告，又獲羅夫·肖克數學獎、弗蘭克·奈爾森·科爾數論獎、麥克阿瑟天才獎等諸多獎項。近年，張益唐成為北大閔嗣鶴數論研究中心名譽主任、客座講席教授，還給數學系的學生們講授暑期課程。張益唐能夠在數論方面取得舉世矚目的成就，與他在北大數學系打下的數論基礎密不可分。在今年11月8日的報告中，他也多次談到北大數學系潘教授對他的指導和影響。
“板凳要坐十年冷，文章不寫一句空”，獲得優異學術成果的前輩學者們大都具備了不怕困難、百折不撓、勇於進取的優秀品質，張益唐也不例外。這種品質要經過艱苦錘鍊才能形成，任何時候都不會過時。傳統數論研究是中華優秀傳統文化之中的瑰寶，其中蘊含著前輩先賢的智慧。21世紀成為數學大國，也是時代給予中國年輕一代的光榮使命。
作者：薩日娜
（作者為東京大學理學博士，上海交通大學教授）
編輯：儲舒婷
圖片來源：視覺中國
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