雙拋物線背景下線段和最值——2021年秋伍家崗區九年級數學第24題

雙拋物線背景下的線段和最值——2021年秋伍家崗區九年級數學第24題

含參雙拋物線類的問題，屬於二次函式壓軸題中難度係數較高的型別，通常情況下雙拋物線共參，那麼這個共同的引數變化範圍可能會影響到拋物線頂點的位置，而一旦抓住頂點變化的規律，則這一類問題的難度便大為降低。

如果頂點座標間也存在函式關係，則會形成多函式巢狀類問題，難度未必提升，計算複雜度顯著增加，畢竟像2021年廣東省考的二次函式壓軸題是少數。

題目

已知關於x的二次函式y1=（x+2）（x+m）（m為常數），其圖象交橫軸於不同的兩點A（-2，0）和點B，二次函式y2=-x-2（m-1）x+4m的頂點為C，交橫軸於不同的兩點E（2，0）和點F。

（1）試寫出點B、點F的座標；（用含m的代數式）

（2）當二次函式y1，y2的圖象與x軸的交點總個數為3個時，求m的值；

（3）過點C作y軸的平行線交拋物線y1於點G，當0≤m≤1時，求CG+BF的最大值。

解析：

（1）二次函式總共有三種解析式，一般式，頂點式和交點式，顯然y1本身就已經是交點式，可直接得到B（-m，0）；對於y2我們將其分解因式也寫成交點式，y2=-（x+2m）（x-2），也能得到F（-2m，0）；

（2）這兩根拋物線與x軸已經有兩個不同的交點A和E，那麼剩下的問題就是點B和點F是否重合，與哪個點重合的問題了。

當點B和點F重合時，m=0；此時B、O、F三點重合，交點總個數為3個；

當點B與點E重合時，m=-2；此時點F為（4，0），交點總個數為3個；

當點F與點A重合時，m=1；此時點B為（-1，0），交點總個數為3個；

綜上，當m=-2，0，1時，交點總個數為3個；

（3）作為本題難點，要考慮的動點比較多，x軸上的B與F，拋物線上的C與G，我們不妨分開來看，先看BF，畢竟它的端點座標前面已經求出來了，BF=m；

再來看線段CG，點C是拋物線y2的頂點，我們將它也化為頂點式，得到C（1-m，（1+m）），將x=1-m代入y1，得點G（1-m，3-m）；

強調一下m的取值範圍是0≤m≤1，為什麼呢？當我們在考慮二次函式最值的時候，一旦限定範圍，那必定會出現拋物線的頂點是否在這個範圍內，我們回想在課堂上講二次函式圖象性質的時候，曾經歸納過，若拋物線開口向上，則橫座標越靠近對稱軸，函式值越小；若拋物線開口向下，則橫座標越靠近對稱軸，函式值越大。

再來觀察點C和點G，它們的橫座標相同，但縱座標無法確定大小，因此線段CG究竟是用點C的縱座標減去點G的，還是反過來？所以我們要分類討論：

若點C在點G下方，如圖2，此時CG=3-m-（1+m）=-m-3m+2，於是CG+BF=-m-2m+2=-（m+1）+3，由結果可知若將CG+BF作為因變數，則它也是一個關於m的二次函式，開口向下且對稱軸是m=-1，即越靠近-1，函式值越大，前面給出了m的範圍，在這個範圍內，顯然0更靠近-1，因此m=0時，CG+BF取最大值2；

若點C在點G上方，如圖3，此時CG=m+3m-2，於是CG+BF=m+4m-2，和前面一樣，用二次函式的圖象性質理解，開口向上且對稱軸是m=-2，即越遠離-2，函式值越大，顯然1更遠離-2，因此m=1時，CG+BF取最大值3；

綜上，當m=1時，CG+BF的最大值為3。

解題反思

應該說這道題在壓軸題中，難度並不算高，含參拋物線和不含拋物線相比，多出的引數並未能造成思維上的障礙，核心仍然是平時課堂上的函式圖象性質的理解，並且理解層次要求也適中。

在二次函式圖象和性質的教學中，我們歸納出教材上的那些要點，例如開口方向、對稱軸、頂點座標、增減性等，不能僅停留於字面含義，而需要從各個角度去增進理解。

拋物線開口向上，以對稱軸為界，左邊是y隨x增大而減小，右邊是y隨x增大而增大，即左邊“下降 ”，右邊“上升”，加深一點，不分左右，離對稱軸越近，則函式值越小；

這些字面詞語上升、下降等，對應的恰好是座標軸的正方向，向上和向右，當橫座標由左向右變化時，我們稱自變數x在增大，而對應的點縱座標由上向下變化，我們稱y隨x增大而減小，即下降，一旦我們統一規定自變數由小變大背景，那麼描述y值的變化便可只用上升或下降這類的詞眼了。

當九年級學生學習二次函式時，最明顯的變化就是增減性，和一次函式相比，二次函式要複雜一些，變化也更多一些，所以在課堂教學中，抓住函式本質，深入理解圖象性質，遇到這類壓軸題，真的很簡單。