高中數學，拋物線大題，很多同學都會錯，這個誤區要不得
原題
原題：已知拋物線C：x^2=2py（p>0）的焦點F，直線L1：y=kx+1（k>0）與C的交點為A，B，且當k=1時，|AF|+|BF|=5。
⑴求C的方程；
⑵直線L2與C相切於點P，且L2∥L1。若△PAB的面積為4，求實數k的值。
圖一
該題是一個比較簡答的大題，然而很多同學卻都會做錯。
這道題的思路是比較簡單的，第一問只要將k=1代入直線L1，設出A，B兩點結合韋達定理就可根據|AF|+|BF|=5得出p的數值，但是這裡很多同學都會算錯。
而第二問就是在第一問得出拋物線方程的基礎上進行的，這裡還給出了直線L2是與該拋物線是相切的，看到這裡會有很多同學將直線L2再次與拋物線聯立，根據只有一個交點得出判別式等於0的條件——其實這也是該題的一個誤區。
因為直線L2與拋物線存在一個交點的時候不僅僅只有相切的時候，還有相交時候。
所以這個誤區就會使我們將問題變得越加繁瑣了。
下面就講解這兩問的過程中詳細地說明該題中存在的誤區及正確的做法。
第一問
第一問是要求拋物線C的方程。
要想求出該拋物線的方程，只需要根據題中給出的“當k=1時，|AF|+|BF|=5”這個條件，再結合拋物線的性質即可解決。
當k=1時，則直線L1的方程為y=x+1。
因為A和B是直線L1與拋物線的兩個交點，根據拋物線上的點到準線的距離就可以用這兩個點的座標將|AF|和|BF|表示出來。
然後根據韋達定理，即根與係數之間的關係，得出p的方程，從而得出p的值，即得出拋物線的方程。
圖二
如圖二所示，設A（x1，y1），B（x2，y2）。
錯誤做法：
將直線y=x+1與拋物線x^2=2py聯立，得到x^2－2px－2p=0。
判別式△=4p^2+8p>0。
根據韋達定理，則有x1+x2=2p，x1x2=－2p。
因為A，B是拋物線C上的點，根據拋物線的性質，即拋物線上點到焦點的距離等於該點到準線的距離，則有|AF|=x1+p/2，|BF|=x2+p/2。
又因為|AF|+|BF|=5，所以|AF|+|BF|=x1+x2+P=5=2p+p=5，解得到p=5/3，即x^2=10y/3。
上述哪裡錯了？
上述的錯誤之處就在於將開口向上的拋物線當成了開口向右的拋物線了——這就是誤區。
這裡怎麼才能避免誤區呢？
一般出題者給出的拋物線方程都會是整數，因為對於圓錐曲線的題，出題者考你的都是圓錐曲線對應的性質而不是計算。
所以一旦得出的拋物線方程是一個分數或者很大的數，這時需要引起我們的注意，哪裡錯了！
正確的解法：
將直線y=x+1與拋物線x^2=2py聯立，得到（y－1）^2=2px，即y^2－（2p+2）y+1=0。
判別式△=（2P+2）^2－4=4P^2+8p>0。
根據韋達定理，則有y1+y2=2p+2，y1y2=1。
因為點A，B在拋物線上，根據拋物線上的點到焦點的距離等於該點到準線的距離，則有|AF|=y1+p/2，|BF|=y2+p/2。
因為|AF|+|BF|=5，所以|AF|+|BF|=y1+y2+P=2p+2+p=5，解得到p=1，所以拋物線方程C為x^2=2y。
第二問
第二問是給出直線L2與C相切於點P，且L2∥L1，又給出三角形PAB的面積為4，求k的數值。
圖三
要想求出該題中k值，需要將三角形PAB中的線段AB和AB上的高均用k來表示，建立關於k的方程，從而解出k的值。
而該題中的線段AB就是直線y=kx+1拋物線x^2=2y的交點，所以只需要將這兩個方程聯立，根據根與係數之間的關係，就可以將線段AB的長度用k來表示出來。
主要就是P點到直線AB的距離怎麼用k來表示。
那最簡潔的辦法就是將P點的座標也用k來表示，然後根據點到直線的距離，就可以將線段AB上的高用k表示出來了。
那P點座標怎麼才能用k來表示呢？
就是借用該題中的已知：直線L2與C相切於點P，且L2∥L1。
這裡很多同學會根據L2∥L1設出直線L2：y=kx+m，然後將L2再與拋物線C聯立，根據判別式等於0得出k與m的關係。
當是這需要注意：直線L2與拋物線只有一個交點時，不僅僅是當直線L2與拋物線相切的時候，還有相交的時候，所以還要排除相交的情況。
解到此也沒能得出P點座標和k的關係，所以這就是另一個誤區。
這裡需要根據導數得出P點和k的關係，而不是還將思想限制於初中的知識上來。
因為拋物線C的方程為x^2=2y，所以y=x^2/2，即y的導數y＇=x。
設P點座標為（x0，y0），所以拋物線在P點處的切線斜率為k=x0，所以P點座標為（k，k^2/2）。
根據點到直線的距離公式，則有P點到直線AB的距離為d=|k·k－k^2/2+1|/√（1+k^2）=（k^2/2+1）/√（1+k^2）。
將直線y=kx+1與拋物線x^2=2y聯立，得到x^2－2kx－2=0。
注意：都要判斷判別式與0的關係，判別式△=4k^2+8>0。
根據韋達定理，則有x1+x2=2k，x1x2=－2。
|AB|=√（1+k^2）·√［（x1+x2）^2－4x1x2］=2√（1+k^2）·√（k^2+2）。
因為S△PAB=4，且S△PAB=1/2×|AB|·d=1/2×2√（1+k^2）·√（k^2+2）×（k^2/2+1）/√（1+k^2）=4。
整理得到（√（k^2+2））^3=8，解得到√（k^2+2）=2。
因為k>0，所以k=√2。
總結
該題容易出題的地方就是將|AF|和|BF|寫成x1+x2+p的形式，為了避免出錯，我們需要在做題的時候養成對拋物線題進行分類的習慣，即焦點在x軸上還是在y軸上，此時結合韋達定理需要消掉哪一個，根據拋物線上點到焦點距離等於該點到準線距離準確的得出|AF|和|BF|與A，B座標的關係。
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