二次函式y＝ax2＋c的影象與性質

一、說教材

在日常生活，參加生產和進一步學習的需要看，有關函式的知識是非常重要的。例如在討論社會問題、經濟問題時越來越多地運用數學的思想方法，函式的內容在其中有相當的地位，二次函式更是重中之重。本節課是人教版九年級下第二十六章第三課時內容，在本節課之前，學生已學習了二次函式的概念和二次函式y=ax2的圖象和性質。因此本課的教學是在學生學過二次函式知識的基礎上，運用圖象變換的觀點把二次函式y=ax2

的圖象經過一定的平移變換，而得到二次函式y＝ax2＋c的圖象。從特殊到一般，最終得到二次函式y＝ax2＋c的圖象。這樣不僅符合學生的認知規律，而且還使學生進一步體會了數形結合的思想方法，培養了學生的創造性思維的能力和動手實踐能力，突出體現了辯證唯物主義觀點。

二、教學目標分析

1、知識與技能：

（1）使學生能利用描點法正確作出函式y＝x2＋2與y＝x2-2的圖象

（2）理解二次函式y＝ax2＋c的性質及它與函式y＝ax2的關係

2、過程與方法：

讓學生經歷二次函式y＝ax2＋c性質探究及性質應用的過程

3、情感態度與價值觀：

培養學生動手操作的能力及歸納總結與靈活應用知識的能力

三、學習者特徵分析

（1）學生已經熟練掌握二次函式的概念和二次函式y=ax2的圖象和性質；

（2）學生對生活中的經濟問題、實際問題興趣越來越濃厚；

（3）學生已經基本有了一定的邏輯思維能力及歸納總結的能力；

（4）學生運用數學知識解決實際問題的能力和數學建模的能力還不強。

四、教學策略選擇與設計

（1）自主學習策略：學生透過自己獨立思考二次函式y＝x2

的性質，促進思維的深層次加工和提高課堂參與度；

（2）動手畫圖、學生參與策略：透過學生動手畫圖，極大的激發了學生的學習興趣，培養學生的觀察、分析、歸納、概括能力，提高數學課堂教學的效率和效果，促使學生主動參與並“捲入”到“做”數學的活動中，從而更加深刻地認識二次函式的性質；

（3）知識遷移、最近發展區策略：透過學生動手畫圖，使學生在已有知識的基礎上歸納總結出二次函式y＝ax2+c的性質。

五、教學資源與工具設計

（1）每位同學準備一張白紙並建立好平面直角座標系，畫好二次函式y＝x2

的圖象

（2）教師在小黑板上建立好平面直角座標系，畫好二次函式y＝x2的圖象。

六、教學過程

（一）、複習引入：

二次函式y＝ax2的性質。

（二）、提出問題

1．二次函式y＝x2

的圖象是____，它的開口向_____，頂點座標是_____；對稱軸是______，在對稱軸的左側，y隨x的增大而______，在對稱軸的右側，y隨x的增大而______，函式y＝ax2與x＝______時，取最______值，其最______值是______。

2．二次函式y＝x2＋2的圖象與二次函式y＝x2的圖象開口方向、對稱軸和頂點座標是否相同？

（三）、分析問題，解決問題

問題1：對於前面提出的第2個問題，你將採取什麼方法加以研究？ （畫出函式y＝x2+2和函式y＝x2的圖象，並加以比較）

問題2，你能在同一直角座標系中，畫出函式y＝x2與y＝x2＋2的圖象嗎？ 教學要點：

1．先讓學生回顧二次函式畫圖的三個步驟，按照畫圖步驟畫出函式圖象。

2．教師說明為什麼兩個函式自變數x可以取同一數值，列出函式y＝x2＋2的對應值表，並讓學生畫出函式圖象．

3．教師寫出解題過程，同學生所畫圖象進行比較。

（2）描點：用表裡各組對應值作為點的座標，在平面直角座標系中描點。

（3）連線：用光滑曲線順次連線各點，得到函式y＝x2和y＝x2＋2的圖象。 （圖象略）

問題3：當自變數x取同一數值時，這兩個函式的函式值之間有什麼關係？反映在圖象上，相應的兩個點之間的位置又有什麼關係？

教師引導學生觀察上表，當x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3時，兩個函式的函式值之間有什麼關係，由此讓學生歸納得到，當自變數x取同一數值時，函式y＝x2＋2的函式值都比函式y＝x2的函式值大2。

教師引導學生觀察函式y＝x2＋2和y＝x2

的圖象，先研究點（－1，1）和點（－1，3）、點（0，0）和點（0，2）、點（1，1）和點（1，3）位置關係，讓學生歸納得到：反映在圖象上，函式y＝x2＋2的圖象上的點都是由函式y＝x2的圖象上的相應點向上移動了兩個單位。

問題4：函式y＝x2＋2和y＝x2的圖象有什麼聯絡？

由問題3的探索，可以得到結論：函式y＝x2＋2的圖象可以看成是將函式y＝x2的圖象向上平移兩個單位得到的。

問題5：現在你能回答前面提出的第2個問題了嗎？

讓學生觀察兩個函式圖象，說出函式y＝x2＋2與y＝x2的圖象開口方向、對稱軸相同，但頂點座標不同，函式y＝x2的圖象的頂點座標是（0，0），而函式y＝x2＋2的圖象的頂點座標是（0，2）。

問題6：你能由函式y＝x2的性質，得到函式y＝x2＋2的一些性質嗎？ 完成填空：

當x______時，函式值y隨x的增大而減小；當x______時，函式值y隨x的增大而增大，當x______時，函式取得最______值，最______值y＝______．

以上就是函式y＝x2＋2的性質。

（四）、做一做

問題7：先在同一直角座標系中畫出函式y＝x2－2與函式y＝x2的圖象，再作比較，說說它們有什麼聯絡和區別？

教學要點

1．在學生畫函式圖象的同時，教師巡視指導；

2．讓學生髮表意見，歸納為：函式y＝x2－2與函式y＝x2的圖象的開口方向、對稱軸相同，但頂點座標不同。函式y＝x2－2的圖象可以看成是將函式y＝x2的圖象向下平移兩個單位得到的。

問題8：你能說出函式y＝x2－2的圖象的開口方向，對稱軸和頂點座標，以及這個函式的性質嗎？

教學要點

1．讓學生口答，函式y＝x2－2的圖象的開口向上，對稱軸為y軸，頂點座標是（0，－2）；

2．分組討論這個函式的性質，各組選派一名代表發言，達成共識：

當x＜0時，函式值y隨x的增大而減小；當x＞0時，函式值y隨x的增大而增大，當x＝0時，函式取得最小值，最小值y＝－2。

問題九：你能歸納總結出二次函式y＝ax2＋c的一些性質嗎？

完成下表：

七、練習： P9 練習1、2、3。

八、暢談收穫

1、本節課你有何收穫？ 2、本節課你有何疑問？

3、課後思考：經過本節課的學習能否研究出二次函式y＝ax2

+c（c<0）的影象與性質。

九、作業：A組：小黑板

B組：小黑板

C組：小黑板

函式 y＝ax2＋c （a>0） c>0 c<0 圖例 開口方向 對稱軸 最值 頂點座標 函式性質

十、課後反思：

數學是一門培養和發展人類的思維的學科。因此在教學設計中，本著 “問題—探究—反思—提高”的過程，展開所要學習的數學主題，使學生在瞭解原有知識基礎上，理解並掌握相應的學習內容。在以師生共同合作的原則下，展現獲取知識和方法的思維過程，突出了動手畫圖、探究、、歸納總結、合作互動的學習方式。在知識學習過程中給學生留有充分的思考與交流的時間和空間，讓學生經歷了觀察、交流、反思等活動，體現了學生對學習過程的經歷和體驗也是學習的目的的理念。在教學過程中不斷讓學生動手畫圖，總結性質，促使學生主動參與並“捲入”到“做”數學的活動中，從而更加深刻地認識二次函式頂點式的性質。由於本人教學經驗有限，在課堂中未能充分調動學生的積極性，課堂氣氛較沉悶，我將在今後的教學中不斷學習有效的經驗，提高自己的教學。