一個關於圓的遊戲——π有多魔性？請看它的前世與今生

幾千年前，當地球上開始出現文字的時候，代表著人類文明的形成。但是，真正意義上的人類文明光有文字是遠遠不夠的，於是，數字以及對數字的計算就不可避免地出現在古代先進文明的發展程序之中。最早出現的、有文字記錄的代表性數學難題可能有兩個，一個是計算直角三角形的斜邊，另一個就是計算圓的周長與面積。

柏林工業大學數學系大樓地面鑲嵌的π

在西方，公元前5世紀左右古希臘數學家畢達哥拉斯提出了“畢達哥拉斯定理”，解決了直角三角形斜邊的計算問題；在東方，一本匿名著作《九章算術》中提出了“勾股定理”，同樣解決了直角三角形斜邊的計算問題。由於史學界對《九章算術》成書年代有爭議，所以就不爭論誰先誰後的問題了。

由於“圓”和人類的生產生活密切相關，計算圓的周長與面積自然讓東西方文明的古代數學家痴迷。在當代人的理念中，有兩個緊密聯絡的公式給出了問題的答案：c（圓周長）=2πr，A（圓面積）=πr^2。從公式中可以看出，圓的周長與面積都與π這個常數有關。但是，對於這個現代人從數學課堂上就能輕易獲得的知識，古代數學家可是大傷腦筋！

公元前3世紀，阿基米德在他的題為《圓的測量》的手稿中寫道：任何圓的面積等於一個直角三角形的面積，該直角三角形的一條直角邊等於圓的半徑，另一條直角邊等於圓的周長。我們可以想象一下，將一個圓切割成很多個楔形（三角形），每一個三角形的面積就是底與高之積的一半；每一個楔形的高都是圓的半徑，而所有這些底之和就約等於圓的周長。於是，所有這些楔形的面積就約等於圓的面積，即等於半徑與周長的乘積的一半。透過梳理這些關係，一個公用常數圓周率π的概念逐漸浮現了出來。接下去，阿基米德證明了π的值在“3又1/7”與“3又10/71”之間。

而在東方，中國古代數學家也沒有閒著。相較於希臘同行，這兩個古老的東西方文明在這個關於“圓”的遊戲中的進度與精度上差距並不大。在成書可能早於阿基米德年代的《九章算術》中提到了如下問題：設有一圓形土地，其周長為181步，其直徑為“60又1/3”步，試求其面積。解法：取周長之半乘以半徑，即得圓之面積，以（平方）步記之。從中國古代的解法可以看出與阿基米德的解法如出一轍。而有趣的是，該書中已經明確了周長直徑之比（即圓周率）的值為3（即π=3），這是一個非常原始的近似值。

到了公元3世紀，中國古代數學家劉徽比較認真，他發現前人的方法存在較大的誤差，於是對圓周率進行了更為準確的計算。他將原先使用的正六邊形證明法拓展為正96邊形，並最終得到圓周率π介於3。1408~3。1420之間，這一結果與阿基米德的估算值吻合得非常好，阿基米德的估算值為：圓周率π介於3。1407~3。1428之間。而阿基米德同樣也是從正六邊形開始計算，直到正96邊形！劉徽與阿基米德這兩個數學天才儘管天各一方，但卻有完全相同的想法，真是令人吃驚！

大家可以看出，劉徽的圓周率估算值的精度要優於阿基米德。不僅如此，當阿基米德就此止步時，劉徽並沒有止步不前。劉徽又補充說，這一過程可以一直繼續進行到正3072邊形！劉徽略去了計算過程，但為後人寫下了結果：圓周率約等於3927/1250，即π=3。1416，這個小數點後四位數字是現代圓周率π的標準近似值。劉徽，是人類歷史上第一個發現了我們現在正在使用的π的值！

更為有趣的是，劉徽雖然計算出了小數點後四位數，但在實際計算中圓周率只取3。14。劉徽一定已經意識到，對於任何生活中的實用性問題，更為精確的近似值並沒有多大實際意義，因為當你測量土地時，你的精度無法達到四位小數。應該說，劉徽得到的結果，在一千多年前可以算是深不可測的了！這裡說明一點，用“π”這個符號表示圓周率是西方發明的，發明者是1706年的威廉姆·瓊斯，由尤拉推廣開來。

關於“π”，其實還有很多不為人們熟知的事實，比如證明π的無理性、π是一個超越數（加強版無理數）等等。現在，隨著計算機時代的來臨，π的位數的最高紀錄已經突破1萬億位大關，但是人們仍然在繼續探究它，西方人常說：如果上帝創造了整數又創造了π，那麼或許上帝其實就是一臺計算機。