一道高數題幫你理解導數的定義，極限的內涵，和洛必達法則的用法

這是一道特別好的高數解答題。一道題可以幫助我們理解導數的定義公式，連續和極限的內涵，以及熟練洛必達法則的運用。題目是這樣的：

已知函式f(x)={g(x)/x, x不等於0；0, x=0}，且g(0)=g'(0)=0, g"(0)=3, 求f'(0).

下面老黃邊解邊分析，分析的內容寫在【】號中。

解：f‘（0）=lim（h->0）（f（h）-f（0））/h=lim（h->0）（g（h）/h^2） 【顯然這裡只能應用導數的定義公式來求f’（0），其中h趨於0，說明它並不是0，因此f（h）=g（h）/h，結果得到一個0比0型的不定式極限。這是因為g‘（0）存在，所以g（h）在h=0連續，從而有lim（h->0）g（h）=g（0）=0】

【接下來對這個極限運用洛必達法則，分子分母同時求導，得到：】

=lim（h->0）（g’（h）/（2h））【得到的仍是一個0/0型的不定式極限。同樣是因為g“（0）存在，所以g’（h）在h=0連續，從而有lim（h->0）g’（h）=g’（0）=0】

【但是，這裡卻不能繼續運用洛必達法則了。假如繼續運用洛必達法則，就會得到lim（h->0）g”（h）/2。並且很多人順理成章地，就會得到結果等於g“（x）/2=3/2。 雖然答案是對的，但解題的過程卻是錯誤的。因為題目並沒有給出g”（h）在h=0連續的條件，所以並沒有lim（h->0）g“（h）=g”（0）=3的直接關係。正確的方法如下：】