等邊三角形中，求三等分線相交所成的線段長

一、問題

如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC上的點，若AD=BE=1/3AB，AE=6，則線段DF的長為________。

二、分析

1、先來找找有沒有相似或直角三角形

按照一般的思路，求線段長最常用的手段就是勾股或相似，所以先從相似三角形和直角三角形找起，直角三角形自然是沒有，相似三角形一眼看上去有全等、A字相似、子母相似（全等也是相似的特殊情形），含有所求線段長的相似三角形為△ADF∽△AEB。

2、拓展已知條件

相似三角形找到了，那能不能直接利用相似三角形來求解呢？

題目中只告知了AE的長度，兩個相似三角形中只有一條已知線段，顯然已知條件是不足的，這就需要我們挖掘題目中的隱含條件，拓展已知條件，找到更多的線段長。

一般我們利用相似三角形求線段長有3種情形：

①已知一個三角形的三邊長和另一個三角形的一邊長；

②已知一個三角形的兩邊長和另一個三角形的一邊長，所求邊正好與已知邊對應；

③已知一個三角形的一邊長及兩個三角形的相似比，所求邊正好與已知邊對應。

由已知條件並無法得出兩個三角形的相似比，所以至少要得出一個三角形的兩邊長和另一個三角形的一邊長，也就是要求出AD和BE的長。

又是一個求線段長的問題，在等邊三角形這個特殊三角形中，我們可構造特殊三角形，利用勾股定理求解。

三、解答

1、如圖，過點A作AG⊥BC於點G，則BG=CG

易證△ABE≌△CAD

∴AD=BE，∠2=∠3

設AB=6m，則AD=BE=2m，BG=3m，EG=m

在RT△ABG中，∠BAG=30°

AG=√3BG=3√3m

在RT△AEG中，由勾股定理，得

AE=√（AG^2+EG^2）=2√7m

至此，已形成“已知一個三角形的兩邊長和另一個三角形的一邊長，所求邊正好與已知邊對應”的情形，接下來可分兩種方法來求解：

①先求出BE和AD的實際長度，然後由線段相似比得出DF長；

②先由線段相似比用m表示DF的長，再求DF的實際長度。

方法一：

由AE=2√7m=6可得 m=3√7/7

∴AD=BE=6√7/7

∵∠1=∠1，∠2=∠3

∴△ADF∽△AEB

∴AD/AE=DF/EB

即6√7/7：6=DF：6√7/7

解得DF=6/7

方法二：

同方法一證明△ADF∽△AEB

∴AD/AE=DF/EB。

即2m/2√7m=DF/2m

∴DF=2√7m/7

又∵AE=2√7m=6

∴DF=6/7

四、小結

1、本題的關鍵在於快速識別相似三角形；

2、題目中已知條件較少時，通常要構造特殊三角形來拓展已知條件；

3、求線段長最常用的兩種方法：勾股和相似；

4、計算時中間過程不必急於求出中間量，在很多情況下，整體處理可能會更簡單。