除四則運算外還可以按照約定，賦予某些符號新的含義，定義新運算
定義新運算
在數學中，除了既定的加、減、乘、除四則運算外，我們還可以按照某種約定，賦予某些符號新的含義，定義新運算。
比如，當初人們為了表示“將兩個數合在一起變成一個數”，發明了符號“+”，這樣就可以用1+2=3的列式來表示加法運算；倘若當初人們規定的運算子號不是“+”，而是“○”，那麼加法運算就會變成1○2=3。
定義新運算，也是同樣的道理：我們規定一些特殊的符號（比如※、□、☆、△等），讓它們具有某種特定的意義，形成新的運算。
在解答定義新運算類題目時，我們需要嚴格按照新定義的規則，將數值代入其中，把新運算轉變為我們所熟悉的四則運算，進而求出最後的答案。
【例1】已知“△”為一種新的運算子號，規定a△b=a+2b。
（1）求1△2，（2）求3△（4△5）。
【思路導航】（1）題中出現了一個新的運算子號“△”，根據題幹中的定義可知，該符號表示連線的前一個數字與後一個數字2倍的和。
我們將“1△2”中的1和2分別代替題幹中的a和b，代入新規則運算即可。
（2）該題與題目（1）相比，不同之處是有括號。在定義新運算中，括號仍可改變運算順序，需要先計算括號內的部分。
所以，我們需要先計算4△5，再將其結果作為新的b，計算3△b，得到最終結果。
解：（1）1△2
=1+2×2
=5
（2）3△（4△5）
=3△（4+2×5）
=3△14
=3+2×14
=31
【列2】假設x、y均表示數字，規定x☆y=4x-2y
（1）求5☆4，4☆5，（2）求（10☆6）☆3，10☆（6☆3）
（3）新定義的運算“☆”滿足交換律、結合律嗎？
【思路導航】（1）該題為定義新運算的基本應用。
首先，我們需要根據題幹中的規定，明確新的運算子號的含義：表示連線的前一個數的4倍與後一個數的2倍的差。
接著，我們將具體的數值代入規則之中，進行計算，即：5☆4=4×5-2×4=12，4☆5=4×4-2×5=6。
（2）本題中有括號，需要先計算括號內的部分。
第一小題中，先計算括號內的10☆6，將數值代入新運算，得10☆6=4×10-2×6=28，再計算28☆3，得28☆3=4×28-2×3=106；第二小題中，先計算括號內的6☆3，得6☆3=4×6-2×3=18，再計10☆18，得10☆18=4×10-2×18=4。
（3）可以回看前面兩題，從具體的例子中找答案。題（1）的兩個小題中，x、y分別等於了5、4和4、5，兩者交換了位置，但運算結果一個是12，一個是6，並不相等，所以新運算不滿足交換律；題（2）的兩個小題中，出現的數字相同，但括號的位置不同，結合的數字情況不同，最後的結果也不相同，所以新運算也不滿足結合律。
透過解答上面幾題，我們可以發現：在定義新運算中，新的運算往往無法滿足和使用加法、乘法的一些運算定律和性質。
所以，我們在計算新運算的過程中，只要還有新的運算子號存在，只要還沒有完全轉變為既定的四則運算，就不能運用四則運算中的這些定律計算，一定要嚴格接照題目中新定義的規則作答。
解：（1）5☆4
4×4-2×5
=4×5-2×4
=20-8
=12
4☆5
=4×4-2×5
=16-10
=6
（2）（10☆6）☆3
=（4×10-2×6）☆3
=28☆3
=4×28-2×3
=112-6
=106
10☆（6☆3）
=10☆（4×6-2×3）
=10☆18
=4×10-2×18
=40-36
=4
（3）不滿足。
【例3】定義“*”為新的運算子號，運算規則為：A*B=A×B-（A+B）。
（1）如果5*x=23，求x，（2）如果12*（3*y）=43，求y。
【思路導航】（1）反求未知數是定義新運算中的重要題型。
解答該類問題時，我們需要將已知數、未知數全部代入新運算之中，按照運算規則進行計算，透過運算結果和題幹中給出的結果所組成的方程式，解出未知數。本題中，將5和x分別代入算式，可得：5*x=5×x-（5+x）=4x-5=23，解出x=7。
（2）本題中有括號，需要一步步計算，先算括號內部分，再算剩餘部分。3*y=3×y-（3+y）=2y-3，將2y-3作為新的B，與12一起代入算式進行新一輪運算，得：12*（2y-3）=12×（2y-3）-［12+（2y-3）］，即24y-36-12-2y+3=22y-45=43，解出y=4。
解：（1）5*x=23
5×x-（5+x）=23
5x-5-x=23
4x-5=23
4x=23+5
x=28÷4
x=7
（2）12*（3*y）
12*［（3×y-（3+y）］=43
12*（2y-3）=43
12×（2y-3）-［12+（2y-3）］=43
24y-36-12-2y+3=43
22y-45=43
22y=43+45
y=88÷22
y=4
【例4】已知“■”為新的運算子號，按照新定義的運算規則計算，得：
3■2=3×（3+3）=18；
4■3=4×（4+4+4）=48；
5■4=5×（5+5+5+5）=100。
（1）求6■5；
（2）求2■3■4
【思路導航】首先需要明確新定義的“■”的運算規則，再根據規則計算。仔細
觀察題目中給出的幾個運算過程，可以發現：“■”這個運算符號表示
一個數字與一些數字之和的乘積，這個數字是“■”符號前的數字，數
字之和是該數字多次相加的和，而數字相加的次數正好是“■”符號後
面的數字。找到新定義的運算規則之後，將數字代入其中，再一步步
計算，便可得到結果。其中，題目（2）中兩次出現該運算子號，需要
先計算2■3，再用其結果區4進行計算。
解：（1）6■5
=6×（6+6+6+6+6）
=6×30
=180
（2）2■3■4
=［2×（2+2+2）］■4
=12■4
=12×（12+12+12+12）
=12×48
=576
數學改變科技，向數學出發。