8個角度剖析，快速掌握有理數的加減法有秘訣

大家一定聽說過“曹衝稱象”的故事，五六歲的曹衝，把稱大象重量這個未知的、陌生的、複雜的問題，轉化成了稱石頭重量這個已知的、熟悉的、簡單的問題，這在數學當中就叫做轉化思想。有理數的加減運算就蘊含不少轉化思想，下面我們來探究一下吧。

一、有理數的加法

把兩個有理數合併成一個有理數的運算，叫有理數的加法。

由於有理數分成正數、零、負數三類，所以兩個有理數的加法就有了以下五種情況①兩數同正，②兩數同負，③兩數異號，④有理數和零（包括正數和零，負數和零），⑤零和零。

二、用數軸表示有理數的加法

我們可以藉助數軸來理解有理數的加法法則，兩數相加可以看作是一個點從原點出發連續作兩次運動，向右移動的距離用正數表示，向左移動用負數表示，那麼這兩個點的兩次運動最後到達的位置就是這兩個數的和。

①（－5）＋（－3）為多少，這表示向左移動5個單位長度，在向左移動3個單位長度，如圖該點最後在原點左側8個單位長度，即（－5）＋（－3）＝－8。

溫馨提示：

可見同號有理數相加時，保留原來的符號，絕對值相加。

②（＋5）＋（－3）為多少，這表示向右移動5個單位長度，在向左移動3個單位長度，如圖該點最後在原點右側2個單位長度，即（＋5）＋（－3）＝＋2

溫馨提示：

可見異號有理數相加時，保留絕對值較大數的的符號，絕對值相減。

③（－5）＋0為多少，這表示向左移動5個單位長度，然後靜止不動，如圖，可知，該點只做了一次運動，即（－5）＋0＝－5。

溫馨提示：

可見一個有理數與0相加，仍得這個數。

三、有理數的加法法則：

①同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加。②絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值，互為相反數的兩個數相加得0。③一個數與0相加，仍得這個數。

簡單地說，有理數加法運算的基本步驟：一是辨別兩個加數是同號還是異號，二是確定和的符號，三是判斷應利用絕對值的和還是差進行計算．

速記口訣：

同號相加一邊倒，

異號相加大減小，

符號跟著大的跑，

絕對值相等“0”正好。

有理數加法法則用字母表示為：

1。若a＞0，b＞0，則a+b=+（|a|+|b|）；若a＜0，b＜0，則a+b=－（|a|+|b|）。

2。若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，則a+b=+（|a|+|b|）；

若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，則a+b=－（|b|－|a|）；

若a＞0，b＜0，且|a|=|b|，則a+b=0。

3。a+0=a。

溫馨提示：

①有理數的加發法則是進行有理數運算的依據，進行加法運算時要先確定用哪條法則。②運算過程中一定要要牢記“先符號，後絕對值”，一定要確定好符號。解決此類問題，通常把整數部分與分數部分分開相加。

四、有理數的加法運算律

小學學過的運算定律在有理數範圍內仍然適用，即有a+b=b+a（加法交換律）：（a+b）+c=a+（b+c）（加法結合律）。

利用加法的交換律和結合律可以簡化運算的過程：

小結：

在較複雜的加法運算中，運算繁鎖且容易出錯，運用運算律常可使問題簡化。

例3.

計算：（－78）+（－77）+（－76）+（－75）+…+（+100）。

分析：

本題是從－78開始連線的整數相加，一直加到100，其中－78與78，－77與77，－76與76，…，－1與1的和分別是0，所以只需考慮79+80+…+100，而79到100有（100－79+1）=22個，這22個數再分成100與79，99與80，…，90與89。共11組，每組的和都是179，所以總和為179×11=1969。

解：

（－78）+（－77）+（－76）+（－75）+…+（+100）

=［（－78）+（+78）］+［（－77）+（+77）］+ …+［（－1）+（+1）］+0+79+

80+…+100=79+80+…+100

=179×11=1969。

點評：

做這樣的題目不光要巧妙地運用運算律，還要學會分析其變化規律。