如何從一數到無窮大？丨21讀書
編輯丨陳思；實習生 思純
圖片來源丨《從一到無窮大》
“所有數字的和”與“一條線上所有點的個數”哪個數字更大，有意義嗎？
題記
01
在講“無窮大”之前，先講一個大家耳熟能詳的故事。
據傳說，印度舍罕王打算獎賞他的宰相、象棋的發明者西薩·班·達依爾。
這位大臣似乎並不貪心，他跪在國王面前說：
“陛下！請在棋盤的第一個格子裡放一粒麥子，第二個格子裡放兩粒，第三個格子裡放四粒，第四個格子裡放八粒，以此類推，每個格子都放前面格子的兩倍，直到把 64 個格子裝滿就行了。”
“你竟然只要這點獎賞。”
國王一邊說，心裡一邊竊喜，畢竟對這樣一件神奇發明的賞賜竟然不需要太破費，“我會按你的要求給你賞賜的。”說完，他命令一個僕人帶了一袋麥子到王座前。
圖 1。 西薩·班·達依爾——能力精湛的數學家——正向國王要他的賞賜
放麥粒的計數工作開始了，按照宰相的要求，第一格放一粒，第二格放兩粒，第三格放四粒……
國王吃驚地發現，還沒放到二十格，一麻袋麥子竟然已經空了。
於是一袋袋麥子搬到國王面前，但是隨著格數的增長，所需的麥子增加得實在是太快了，很快國王就發現，即便把整個印度的麥子都拿過來，也滿足不了達依爾的要求，因為計算一下我們就知道，這需要 18 446 744 073 709 551 615 顆麥粒！
這個數字雖然不像宇宙中原子總數那麼大，但也足夠可觀了。
假設一蒲式耳 1 小麥有 5 000 000 粒，我們需要 4 萬億蒲式耳才夠！全世界平均每年產出小麥總量約為 2 000 000 000 蒲式耳，所以宰相所求的賞賜，竟然是全球兩千年所產的小麥總和！
國王終於意識到他欠了宰相多麼大的一筆債，要麼他得忍受著達依爾沒完沒了的討債，要麼他乾脆砍了達依爾的腦袋。
我猜國王估計會選後者。
但是宰相請求賞賜的小麥數量，雖然大到難以置信，但畢竟還是有限的。
“有限”的意思就是，只要有足夠長的時間，我們總能把它們從頭到尾地寫出來。
但是確實有些無窮大的數字，比我們能寫出來的任何數字都大，例如“所有數字的和”或者“一條線上所有點的個數”等， 毫無疑問都是無窮大的。
那麼對這些數字，除了“無窮大”之外，我們還能如何表述呢？是否有可能比較一下兩個不同的無窮大的數，看看哪一個“更大”呢？
02
“所有數字的和”與“一條線上所有點的個數”哪個數字更大，有意義嗎？
乍看起來這種問題似乎有些荒誕，但這是著名數學家格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）曾經思考過的問題，因此他也是“無窮大數算術”的奠基人。
如果我們要比較無窮大數字的大小，就會面臨一個問題：
這些數字既沒法讀出來也沒法寫出來，怎麼比較呢？
康托爾提出的比較無窮大數的方法與此類似：
透過把兩組無窮數列中的數字一一配對，來對兩個無窮大數進行比較。
如果兩組數恰好一一對應，那麼這兩個無窮大數就是相等的；
如果有一個數列中還有數剩下，那這一組就更大一些，或者表述為“更強”。
很顯然，這種比較無窮大數的方式很合理，而且實際上這也是唯一可行的方法。
但真的用這種方法來進行比較時，我們還是會大吃一驚。
舉例來說，若是要比較所有偶數和所有奇數這兩個無窮大數列的數字個數，直覺上你肯定會認為這兩個數目相等，畢竟應用上述方法，這個結論也完全說得通，因為奇數偶數之間可以建立如下的一一對應關係：
圖 2。
上面這個表中，每個偶數都與一個奇數相對應，因此偶數和奇數的個數應該一樣多。看看，是不是很簡單？
且慢，且慢。
得出結論之前，先思考一個問題：
是包含所有奇數和偶數在內的整數個數多，還是偶數個數多？
你肯定會說，當然是所有整數的個數更多，畢竟整數除了包含所有的偶數，還要加上所有的奇數。但其實這只是你的印象罷了，為了得到準確的結論，我們必須利用上述規則來對這兩個無窮大數進行比較。
如果實際比較一次，你就會驚訝地發現，你的印象並不正確。
下面就是所有整數和所有偶數的對應表：
圖 3。
按照無窮大數的比較規則，我們必須承認，所有整數的數目和偶數的數目一樣大。
聽起來這個結論有些荒謬，因為偶數只是整數的一部分而已。
不過我們畢竟是在和無窮大數打交道，就得做好遭遇奇異性質的準備。
實際上，在無窮大的世界裡，部分可能等於整體！德國著名的數學家希爾伯特（David Hilbert）曾經講述過一則故事，能夠很好地說明這個觀點。
這個故事據說來自他的關於無窮大數的一次演講，用來闡述無窮大的奇異性質：
假如有這樣一個旅店，其中的房間數是有限的，全部都被住滿了。
一位新的旅客抵達了旅店，店主只好說：
“不好意思，我們客滿了。”
現在我們再假設有另一家旅店，其中的房間數是無窮的，所有的房間也全部住滿了。
這時有一位新的旅客到達旅店，要訂個房間。
“沒問題！”店主會說。那麼店主會如何做呢？只見他把 N1 號房間的旅客移到 N2 房間，把 N2 號房間的旅客移到 N3 房間，把 N3 號房間的旅客移到 N4 房間，以此類推。於是，N1 號房間就被空了出來，新的客人住了進去。
進一步，我們再假設存在另一家有無窮多房間的旅店，同樣也住滿了。突然，來了無窮多位新的要求訂房間的旅客。
“好的，先生們，請稍等。”店主回答道。
只見店主將 N1 號房間的旅客移到 N2 房間，將 N2 房間的旅客移動到 N4 房間，將 N3 號房間的旅客移到 N6 房間，以此類推。
於是，所有奇數號房間都被空了出來，新來的無窮多位客人順利入住了。
這些概念理解起來有些困難，更何況希爾伯特進行這段演講時，正值世界大戰期間，即便在華盛頓，這個故事也沒有多少人理解，不過這個例子一針見血地點出了無窮大數運算與有限數的區別。
按照用於比較兩個無窮大數的康托爾法則，我們還能證明普通分數 2（如 3/7，375/8 等）的數目和所有整數相等。
事實上，我們可以把所有的簡單分數按照以下方式排列起來：
首先寫下分子分母加起來等於 2 的分數，很明顯這樣的分數只有一個，那就是 1/1；
然後寫下分子分母之和等於 3 的那些分數，分別是 2/1 和 1/2；
接下來是等於 4 的，有 2/2、3/1、1/3；以此類推。
這樣我們就得到了一個無窮大的分數數列，其中包含了所有的分數（圖 5）。
現在將這個數列上面一一對應寫上整數數列，可見它們的數目是相等的！
圖 4。
非洲原始人和康托爾教授都在比較無法數出的數目的大小
“很好，很好。”你可能會說，“這是不是意味著，所有的無窮大數其實都是相等的？如果這樣的話，那比較還有什麼意義？”
當然不是，我們可以很輕易找到比整數或分數個數更大的無窮大數。
實際上，如果我們研究一下曾經探討過的那個關於線段上點的個數和整數個數的問題，就會發現這兩個數字是不一樣大的。
線段上點的個數比整數的個數要多得多。為了證明這一點，我們將一段線段（例如 1 英寸長）中的點和整數一一對應起來。
線段上的每個點都可以用該點到線段端點的距離來表示，這個距離可以寫為一個無窮小數，例如 0。735 062 478 005 6。。。或 0。382 503 756 32。。。等。
因此我們可以透過這種方式比較無窮小數和所有整數的個數。那麼，這些無窮小數與之前討論過的那些形如 37、8277 的普通分數有什麼區別呢？
你一定還記得一條算術規則：所有的簡單分數都能夠轉化為無限迴圈小數 1。
因此 23=0。6666。。。=0。6，
37=0。428571。。。428571。。。4……=0。2857。
我們已經證明，所有普通分數與所有整數的個數相等，因此所有迴圈小數的個數與所有整數的個數相等。
但是線段上的點不可能全部由迴圈小數表示，絕大多數的點都是由無限不迴圈小數表示的。所以很容易得出結論，一一對應的關係無法建立。
假如有人宣佈，他建立了這種一一對應的關係，比如下面這種形式：
圖 5。
當然了，不可能真的把無窮多個數字寫出來，因此這個人只是用上面這張表宣稱，他發現了一種普遍規律（諸如我們用來排列分數的規律），按照這種規律，任意一個小數遲早都會出現在這張表上。
但我們不難證明，這類規律都是站不住腳的，因為無論他聲稱的規律是什麼，我們總能找出這張包含無窮多數的表格之外的無窮小數。
怎麼做呢？其實很簡單。只要寫一個小數，讓這個小數第一小數位不同於表中第一個小數的第一小數位，第二小數位不同於表中第二個小數的第二小數位，以此類推。下面是一個例子：
圖 6。
這個數絕對在列表中找不到。
比如這個表的作者對你說，這個數字是我列表中的第 137 號（或者其他任意序號）數字，你可以立即回答他說，
“不，我寫的這個數字和你列表中的數字不相等，因為我這個數字的第 137 小數位的數字與你列表中那個數字的第 137 小數位不相等。”
圖 7。
因此，線上的點和整數之間沒法建立一一對應的關係。換句話說，線段上點的個數這個無窮大數大於（或強於）整數個數這個無窮大數。
我們剛才討論的線一英寸長，但實際上按照無窮大數的計算規則很容易證明，無論線段多長，結果都一樣。
實際上，一英寸、一英尺或是一英里長的線段上的點數都相等。
為了證明這一點，可以看看插圖 6，圖中比較了兩條不同長度的線段 AB 和 AC 上點的個數。
為了建立一一對應的關係，過線段 AB 上的每一點作一條 BC 的平行線，每條平行線都與 AC 有一個交點，這樣就形成了一組一一對應的點，例如 D 和 D‘，E 和 E’，F 和 F‘，等等。
線段 AB 上任何一點都能線上段 AC 上找到一個對應點，反過來也是一樣。因此按照我們的規則，這兩個無窮大數是相等的。
透過這種分析，我們還能得到一個更令人震驚的結論：
平面上所有點的個數與線段上所有點的個數相等。
為了證明這個結論，我們分析一條長為一英寸的線段 AB 和一個邊長為 1 英寸的正方形 CDEF，如圖 7 所示。
假設將線段上某點用數字表示，例如 0。751 203 86。。。。
將這個小數按奇數小數位和偶數小數位分開，可以得到兩個新的小數，
一個是：0。710 8。。。
以及另外一個：0。523 6。。。
將這兩個小數分別作為正方形中水平方向和垂直方向的距離，可以得到一個點，這個正方形上的點稱作線段上原來那個點的“對偶點”。
反過來，對於正方形內任何一個點，也可以用同樣的方式線上段中找到一個對應的點，比如對於正方形中的某個點，水平和垂直方向座標分別為：
0。483 5。。。
以及
0。990 7。。。
把這兩個數字合到一起，就得到了線段上的一個“對偶點”：
0。498 930 57。。。
很顯然，透過這種方式，可以將兩組點建立起一一對應的關係。
線段上的每個點都能夠在正方形中找到一個對應的點，同樣，正方形中每個點也都能夠線上段上找到一個對應的點，沒有點剩下來。
因此，按照康托爾法則，正方形點數這個無窮大數與線段點數這個無窮大數是相等的。
類似地，只要把一個小數分成三份，並用這三個小數在立方體內得到一個“對偶點”，我們也很容易證明，立方體內點的數目和正方形中點的數目或線段上點的數目相等。
與之前討論過的兩條不同長度線段的情況類似，正方形和立方體中點的個數與他們的大小無關。
雖然幾何點數比整數和分數的個數都要大，但並不是數學家們已知的最大的數。
實際上，包括一些不尋常樣式在內的各種曲線，樣式的數量比所有幾何點的數量更大，因此被視為第三級無窮數列。
按照“無窮大數算術”奠基人康托爾的意見，我們用希伯來字母 （讀作“阿列夫”）表示無窮大數，右下角的數字用來表示無窮大數的級數。
因此包括無窮大數在內的數字數列可以表示為：
這樣一來，我們說“線段上有 個點”或者“曲線的樣式有 種”，就像我們平時說“世界上有七大洲”或“撲克牌有 52 張”一樣方便了。
我們已經知道，_{0}表示所有整數的數目，_{1}表示所有幾何點的數目，_{2}代表所有曲線樣式的數目。
但直到現在，還沒人能夠找出一種需要用 _{3}表示的無窮大數。
這麼一來，前三級無窮大數已經足夠來描述目前我們遇到的所有無窮大數了。
我們擁有了描述無窮大數的方法，卻沒那麼多東西可數了！
贈書福利
《從一到無窮大》是一本經典但非典型的科普書。之所以說它經典，是因為自其誕生以來，就被翻譯成多國文字並反覆再版，啟迪了無數年輕人的科學夢想；而說它非典型，是因為很少有一本科普書能夠同時涵蓋數學、物理學、天文學和生物學等諸多學科，並涉及了各個學科的許多核心問題，如相對論和四維時空、原子物理、基因、星系等等，並且對每個學科的講解都能夠做到舉重若輕、生動形象。
作者喬治·伽莫夫是一位橫跨多個學科的卓越科學家。伽莫夫的主要研究領域是核物理學，後來他開創性地將核物理學用於解決恆星演化的問題，並提出了超新星的中微子理論；他又結合相對論和宇宙學的相關研究，提出了大爆炸宇宙學模型；在物理學和宇宙學研究之餘，他還在生物學中插了一腳，提出了DNA中由鹼基排列組合形成遺傳密碼的設想。
《從一到無窮大》
作者：【美】 喬治·伽莫夫
