奧數從課本學起，思維訓練之牛頓問題，抓住不變的量解題

牛吃草問題又名牛頓問題，因由牛頓提出而出名。牛吃草問題涉及三個量：牛的頭數、牧場面積、天數（時間）。解決問題的出發點往往是從草的生長情況入手，這就需要關注兩個量：該牧場原有多少草、每天新生長多少草。

解牛吃草問題的主要依據：①草的每天生長量不變；②每頭牛每天的食草量不變；③草的總量=牧場原有的草量+新生的草量；④新生的草量=每天生長量×天數。

常用到四個基本公式，分別是：

（1）草的生長速度＝（對應的牛頭數×吃得較多天數－相應的牛頭數×吃的較少天數）÷（吃得較多天數－吃得較少天數）；

（2）原有草量＝牛頭數×吃的天數－草的生長速度×吃的天數；

（3）吃的天數＝原有草量÷（牛頭數－草的生長速度）；

（4）牛頭數＝原有草量÷吃的天數＋草的生長速度。

這四個公式是解決牛吃草問題的基礎。一般設每頭牛每天吃草量不變，設為“1”，解題關鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數量，再求出草地裡原有草的數量，進而解答題總所求的問題。

例題1：一牧場長滿青草，牛在吃草而草又不斷生長，27頭牛6星期可以吃完；23頭牛9星期可以吃完。若是21頭牛，幾星期可以吃完？

解決本題的關鍵：①最初的草量；②每星期長出的草量。

分析：把1頭牛1星期的吃草量看作“1”。那麼，27頭牛6星期的吃草量為：1×27×6=162；23頭牛9星期的吃草量為：1×23×9=207；因此，（9-6）星期長出來的草量為：207-162=45，1星期長出來的草量為：45÷3=15，即1星期長出來的草量可供15頭牛吃一個星期。

由此可見最初的草量為：（27-15）×6=72。所以，現在有21頭牛吃這片牧草，其中15頭牛吃每星期長出的草量，只剩下（21-15）=6頭牛吃最初牧場的草量，因此，6頭牛吃完最初草量是72÷6=12（星期），即21頭牛吃完這片牧草，可吃12星期。

方法一：算術方法

解：每天長草：（207-162）÷（9-3）=15份

原來草場的草：27×6-15×6=72份．

21頭牛，草場每天長草15分供15頭牛，剩下的6頭，就要吃草場原有的草，

可以吃幾天呢：72÷（21-15）=12天

答：如果放牧21頭牛，則12天可以吃完牧草．