數學名人 ｜ 無處不在的尤拉，你真的瞭解什麼叫做數學大神嗎？

上次我們說了，柯西的老師是拉格朗日，拉格朗日的老師是尤拉，本次讓我們來見識下“尤拉大神”吧。

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大魔王拉格朗日的故事及拉格朗日中值定理

尤拉，

一個耳熟能詳的名字，

在許多領域都能見到，

這位偉大的數學家和物理學家，

獲得過哪些成就？

又有多少公式和定理以他命名？

我們一起來欣賞！

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萊昂哈德·尤拉（Leonhard Euler，1707年4月15日－1783年9月18日），瑞士數學家和物理學家，近代數學先驅之一。1707年尤拉生於瑞士的巴塞爾，13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業，16歲獲碩士學位。平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學、分析學、幾何學等課本，《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等都成為數學中的經典著作。尤拉對數學的研究如此廣泛，因此在許多數學的分支中也可經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。1783年9月18日於俄國彼得堡去逝。

尤拉是18世紀數學界最傑出的人物之一，在科學界享有泰山北斗的崇高地位。

他無數次出現在郵票上——

還有紙幣上——

他的成果，可以伴隨我們從小學到博士；他推導公式的速度，賽過我們背公式的速度；他寫書的速度，賽過我們看書的速度；他寫的書，比我們寫的作業還多！

什麼“天賦異稟”、“蘭心蕙質”、“天資聰穎”、“高世之智”、“八斗之才”，都不足以形容尤拉的蓋世神功。

更嚴重的是，歐神的顏值還爆表！

（此處飄過一萬次迷妹眼神。）

一路開掛的人生

尤拉畢生成就卓著，不信你就看看他的個人履歷：

13歲，考入名校巴塞爾大學，同時修六個專業（哲學、法學、數學、神學、希伯來語、希臘語），戲路寬廣，無人能敵！

15歲，本科畢業。

16歲，碩士畢業。

19歲，博士畢業。（傳說中的本碩博連讀，我們上大學的年紀，歐神已經博士畢業，獨孤求敗了！）

20歲，參加巴黎科學院獎金的角逐，沒成想才得第二名，尤拉大受刺激，在接下來12年連拿12個冠軍，終於看破紅塵，不參加比賽了。

22歲，在寫給哥德巴赫的一封信中，給出了伽馬函式的定義。

25歲，得到了尤拉-麥克勞林求和法。

26歲，彼得堡科學院數學教授。

27歲，推廣了以下符號：f（x）、sin、cos，tan，它們伴隨我們度過了小學、初中、高中、大學。給出了尤拉常數，該數是否為超越數，至今無人知曉。

28歲，尤拉解決了計算彗星軌道天文學難題，這個問題幾個著名數學家幾個月的努力才得到解決，而尤拉卻用自己發明的方法，三天便完成了。

28歲，右眼失明。

29歲，《力學或解析地敘述運動的理論》出版，提出諸如質點的概念、在運動學中引入向量。

32歲，出版音樂著作《建立在確切的諧振原理基礎上的音樂理論的新穎研究》

33歲，攻克了巴塞爾問題。

34歲，解決了七橋問題。發表了圖論領域最早的文獻。

37歲，給出了著名的尤拉恆等式。

41歲，出版了劃時代代表作《無窮分析引論》，該書在數學史上地位顯赫，是對數學發展影響最大的七部名著之一。

43歲，給出了多面體公式，這是組合拓撲的雛形。

48歲，出版了《微分學》。

59歲，左眼失明。

完全失明後，因為熟知所有數學公式、能夠心算高等數學，寫出400多篇論文。出版了三卷本《積分學》，還出版了影響甚廣的《代數導引》。（天才，根本就不需要眼睛啊！）

64歲，因家中失火，大部分研究被焚燬，神奇的尤拉用了一年的時間口述了所有這些論文並作了修訂（後人整理他的著作，花了100+年，一個世紀啊，在尤拉那裡，不過一年！）。

76歲，尤拉為了慶祝他計算氣球上升定律的成功，請朋友們吃飯，那時天王星剛發現不久，尤拉寫出了計算天王星軌道的要領，還和他的孫子逗笑。他喝完茶後，突然疾病發作，菸斗從手中落下，口裡喃喃地說：“我要死了”。這是尤拉對生命的最後一次計算。隨後，他便告別了人世。

驚人的記憶力

尤拉有驚為天人的記憶力，能背誦前一百個質數的前十次冪，能背誦全部的數學公式，能背誦羅馬詩人維吉爾的史詩！

法國物理學家阿拉果說——

“尤拉計算時毫不費力，就像人呼吸、或者鷹在風中保持平衡一樣。”

尤拉雙目失明後，所有的研究主要靠心算。

有一次，尤拉的兩個學生在玩遊戲：把一個複雜的收斂級數的17項加起來。（看看人家的遊戲，我們簡直弱爆了。。。）

當他們算到第50位數字時，兩人相差一個單位。於是，就去問尤拉，尤拉立刻加入遊戲，用心算的方式判斷誰是對的，還把做錯的童鞋錯的原因找了出來。。。

尤拉在雙目失明的情況下的科研，先是透過粉筆把公式寫在一塊很大的石板上，然後口授，由他的兒子筆錄來完成論著。

失去光明的尤拉，憑藉無人能敵的心算能力，迎來了創作的高峰。

上帝公式

尤拉公式：

當 θ=π 時，代入尤拉公式，得到尤拉恆等式：這個公式被譽為上帝公式。敢以上帝來命名的公式，你說說有多牛掰？該公式把兩個超越數：自然對數的底e，圓周率pi，兩個單位：虛數單位 i，和自然數的單位1，以及數學裡常見的0，五個重要而基本的數學元素全部包含在內。尤拉公式將指數函式的定義域擴充套件到複數域，建立三角函式和指數函式的關係，被譽為“數學中的天橋”。

全領域天才

尤拉在數學上的成就包羅永珍，包括造船、金融、曆法、繪圖等應用性非常強的領域。

尤拉一共寫下了886本書籍和論文。。。

這其中，分析、代數、數論佔40%，幾何佔18%，物理和力學佔28%，天文學佔11%，彈道學、航海學、建築學等佔3%。

幾乎每一個數學領域都可以看到尤拉的名字：從初等幾何的尤拉線，多面體的尤拉定理，立體解析幾何的尤拉變換公式，四次方程的尤拉解法到數論中的尤拉函式，微分方程的尤拉方程，級數論的尤拉常數，變分學的尤拉方程，複變函式的尤拉公式。。。

尤拉最重要的數學成就就是數學分析，《尤拉全集》中的數學部分有30分卷，其中17卷有關數學分析。數學分析是18世紀數學的主題，尤拉被同時代的人譽為“分析的化身”。

尤拉命名

尤拉公式

尤拉公式是指以尤拉命名的諸多公式。其中最著名的有，複變函式中的尤拉幅角公式——將複數、指數函式與三角函式聯絡起來； 拓撲學中的尤拉多面體公式；初等數論中的尤拉函式公式。 此外還包括其他一些尤拉公式，比如分式公式等等。

尤拉函式

尤拉函式，在數論，對正整數n，尤拉函式是少於或等於n的數中與n互質的數的數目。此函式以其首名研究者尤拉命名，它又稱為Euler‘s totient function、φ函式、尤拉商數等。 例如φ（8）=4，因為1，3，5，7均和8互質。 從尤拉函式引伸出來在環論方面的事實和拉格朗日定理構成了尤拉定理的證明。

尤拉定理

在數學及許多分支中都可以見到很多以尤拉命名的常數、公式和定理。在數論中，尤拉定理（Euler Theorem，也稱費馬-尤拉定理或尤拉函式定理）是一個關於同餘的性質。尤拉定理得名於瑞士數學家萊昂哈德·尤拉，該定理被認為是數學世界中最美妙的定理之一。尤拉定理實際上是費馬小定理的推廣。此外還有平面幾何中的尤拉定理、多面體尤拉定理（在一凸多面體中，頂點數-稜邊數+面數=2）。西方經濟學中尤拉定理又稱為產量分配淨盡定理，指在完全競爭的條件下，假設長期中規模收益不變，則全部產品正好足夠分配給各個要素。

尤拉角

用來確定定點轉動剛體位置的3個一組獨立角參量，由章動角θ、旋進角（即進動角）ψ和自轉角j組成，為尤拉首先提出而得名。

尤拉方程

1755年，瑞士數學家L。尤拉在《流體運動的一般原理》一書中首先提出這個方程。

在研究一些物理問題，如熱的傳導、圓膜的振動、電磁波的傳播等問題時，常常碰到如下形式的方程：

（ax^2D^2+bxD+c）y=f（x），

其中a、b、c是常數，這是一個二階變係數線性微分方程。它的係數具有一定的規律：二階導數D^2y的係數是二次函式ax^2，一階導數Dy的係數是一次函式bx，y的係數是常數。這樣的方程稱為尤拉方程。

尤拉線

三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心，依次位於同一直線上，這條直線就叫三角形的尤拉線，且外心到重心的距離等於垂心到重心距離的一半。

萊昂哈德·尤拉於1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心在尤拉線上，即三角形的重心、垂心和外心共線。他證明了在任意三角形中，以上四點共線。尤拉線上的四點中，九點圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。

如圖，尤拉線（圖中的紅線）是指過三角形的垂心（藍）、外心（綠）、重心（黃）和尤拉圓圓心（紅點）的一條直線。

注：三角形三邊的中點，三高的垂足和三個尤拉點（連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點共圓，稱為尤拉圓。

尤拉圓

三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心，依次位於同一直線上，這條直線就叫三角形的尤拉線，且外心到重心的距離等於垂心到重心距離的一半。萊昂哈德·尤拉於1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心在尤拉線上，即三角形的重心、垂心和外心共線。他證明了在任意三角形中，以上四點共線。尤拉線上的四點中，九點圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。

如圖，尤拉線（圖中的紅線）是指過三角形的垂心（藍）、外心（綠）、重心（黃）和尤拉圓圓心（紅點）的一條直線。注：三角形三邊的中點，三高的垂足和三個尤拉點（連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點共圓，稱為尤拉圓。