求函式y=(x+1)^2(x+11)^3的導數y', y'', y'''

求函式y=（x+1）^2（x+11）^3的導數y‘，y’‘，y’‘’

主要內容：

透過函式乘積的求導公式，以及取對數求導和萊布尼茲多元函式求導公式等內容，介紹計算函式y=（x+1）^2（x+11）^3一階、二階和三階導數的主要步驟。

一、一階導數：

※。函式乘積求導法。

∵y=（x+1）^2（x+11）^3，

∴y‘

=2（x+1）（x+11）^3+（x+1）^2*3*（x+11）^2，

=（x+1）（x+11）^2（2x+22+3x+3），

=（x+1）（x+11）^2（5x+25）

※。取對數求導法。

∵y=（x+1）^2（x+11）^3，取導數有：

∴lny=ln（x+1）^2（x+11）^3，即：

lny=2ln（x+1）+3ln（x+11），兩邊同時對x求導：

y’/y=2/（x+1）+3/（x+11），

y‘=y［2/（x+1）+3/（x+11）］，

y’=（x+1）^2（x+11）^3［2/（x+1）+3/（x+11）］，

y‘=（x+1）（x+11）^2［2（x+11）+3（x+1）］，

y’=（x+1）（x+11）^2（5x+25）。

※。導數定義法。

∵y=（x+1）^2（x+11）^3，

∴dy/dx

=lim（t→0）{［（x+t）+1］^2［1（x+t）+11］^3-（x+1）^2（x+11）^3}/t

=lim（t→0）［（x+t+1）^2（x+t+11）^3-（x+1）^2（x+11）^3］/t

=lim（t→0）{［（x+1）^2+2t（x+1）+t^2］（x+t+11）^3-（x+1）^2（x+11）^3}/t

=lim（t→0）{（x+1）^2［（x+t+11）^3-（x+11）^3］+2t（x+1）（x+t+11）^3+t^2（x+t+11）^3}/t

=lim（t→0）{1t（x+1）^2［（x+t+11）^2+（x+t+11）（x+11）+（x+11）^2］+2t（x+1）（x+t+11）^3+t^2（x+t+11）^3}/t

=lim（t→0）{（x+1）^2［（x+t+11）^2+（x+t+11）（x+11）+（x+11）^2］+2（x+1）（x+t+11）^3+t（x+t+11）^3}，

=1（x+1）^2［（x+11）^2+（x+11）（x+11）+（x+11）^2］+2（x+1）（x+11）^3，

=3（x+1）^2（x+11）^2+2（x+1）（x+11）^3，

=（x+1）（x+11）^2（5x+25）。

二、高階導數

※。二階導數計算

∵y‘=（x+1）（x+11）^2（5x+25）

∴y’‘=（x+11）^2（5x+25）+（x+1）［2（x+11）（5x+25）+5（x+11）^2］

=（x+11）^2（5x+25）+（x+1）（x+11）［2（5x+25）+5（x+11）］

=（x+11）［（x+11）（5x+25）+2（x+1）（5x+25）+5（x+1）（x+11）］

=（x+11）{（5x+25）［（x+11）+2（x+1）］+5（x+1）（x+11）}。

※。三階導數計算

∵y1=（x+1）^2，∴y1’=2（x+1），y1‘’=2*1，y1‘’‘=0；

∵y2=（x+11）^3，∴y2’=3（x+11）^2，y2‘’=6*1^2（x+11），y2‘’‘=6*1^3；

則有：

y’‘’=C（3，0）y1*6+C（3，1）*2（x+1）*6（x+11）+6*C（3，2）（x+11）^2+C（3，3）*0

=6（x+1）^2+36（x+1）（x+11）+18（x+11）^2，

=6［（x+1）^2+6（x+1）（x+11）+3（x+11）^2］。