數學物理中的常數究竟是什麼，你知道嗎？
數學老師一直認為，數學中的各種常數是最令人敬畏的東西。它們似乎是宇宙誕生之初上帝就已經精心選擇好了的，那一串無限不迴圈的數字往往會讓人陷入一種無底洞般的沉思——為什麼這串數字就不是別的，偏偏就是這個樣呢。除了那些眾所周知的基本常數之外，還有很多非主流的數學常數，它們的存在性和無理性同樣給它們賦予了濃重的神秘色彩。今天，數學加小編就來盤點一下數學界中七大神秘的數學常數。
NO.1 √2≈ 1.4142135623730950488
古希臘的大哲學家畢達哥拉斯很早就注意到了數學與大千世界的聯絡，對數學科學的發展有著功不可沒的貢獻。他還創立了在古希臘影響最深遠的學派之一—— 畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯學派對數字的認識達到了審美的高度。他們相信，在這個世界中“萬物皆數”，所有事物都可以用整數或者整數之比來描述。
我們今天說第一個神秘的數學常數，同時也是第一個無理數 √2的發現者就是一位畢達哥拉斯學派的學者，他叫做 Hippasus 。據說，一日 Hippasus 向畢達哥拉斯提出了這樣的問題：邊長為 1 的正方形，對角線長度能用整數之比來表示嗎？畢達哥拉斯自己做了一些思考，證明了這個數確實無法用整數之比來表示。由於這一發現觸犯了學派的信條，因此畢達哥拉斯殺害了 Hippasus 。
利用勾股定理可知，這個數是方程 x^2 = 2 的唯一正數解，我們通常就記作 √2。√2可能是最具代表性的無理數了，我們之前曾經介紹過很多 √2的無理性的證明。無理數的出現推翻了古希臘數學體系中的一個最基本的假設，直接導致了第一次數學危機，整座數學大廈險些轟然倒塌。
無理數雖說無理，在生產生活中的用途卻是相當廣泛。例如，量一量你手邊的書本雜誌的長與寬，你會發現它們的比值就約為 1。414 。這是因為通常印刷用的紙張都滿足這麼一個性質：把兩條寬邊對摺到一起，得到一個新的長方形，則新長方形的長寬之比和原來一樣。因此，如果原來的長寬比為 x ： 1 ，新的長寬比就是 1 ： x/2 。解方程 x ： 1 = 1 ： x/2 就能得到 x = √2。
NO.2 圓周率 π ≈ 3.141592653589793
不管圓有多大，它的周長與直徑的比值總是一個固定的數。我們就把這個數叫做圓周率，用希臘字母 π 來表示。人們很早就認識到了圓周率的存在，對圓周率的研究甚至可以追溯到公元以前；從那以後，人類對圓周率的探索就從未停止過。幾千年過去了，人類對圓周率的瞭解越來越多，但卻一直被圓周率是否有理的問題所困擾。直到 1761 年，德國數學家 Lambert 才證明了 π 是一個無理數。
π 是數學中最基本、最重要、最神奇的常數之一，它常常出現在一些與幾何毫無關係的場合中。例如，任意取出兩個正整數，則它們互質（最大公約數為 1 ）的機率為 6 / π^2 。
NO,3 自然底數 e ≈ 2.718281828459
在 17 世紀末，瑞士數學家 Bernoulli 注意到了一個有趣的現象：當 x 越大時， （1 + 1/x）^x 將會越接近某個固定的數。例如， （1 + 1/100）^100 ≈ 2。70481 ， （1 + 1/1000）^1000 ≈ 2。71692 ，而 （1 + 1/10000）^10000 則約為 2。71815 。 18 世紀的大數學家 Euler 仔細研究了這個問題，並第一次用字母 e 來表示當 x 無窮大時 （1 + 1/x）^x 的值。他不但求出了 e ≈ 2。718，還證明了 e 是一個無理數。
e 的用途也十分廣泛，很多公式裡都有 e 的身影。比方說，如果把前 n 個正整數的乘積記作 n！ ，則有 Stirling 近似公式 n！ ≈√2π n （n / e）^n 。在微積分中，無理數 e 更是大顯神通，這使得它也成為了高等數學中最重要的無理數之一。
NO.4 黃金分割 φ = (1 +√5)/2 ≈ 1.618
把一根線段分為兩段，分割點在什麼位置時最為美觀？分在中點處，似乎太對稱了不好看；分在三等分點處，似乎又顯得有些偏了。人們公認，最完美的分割點應該滿足這樣一種性質：較長段與較短段的長度比，正好等於整條線段與較長段的長度比。這個比值就叫做黃金分割，用希臘字母 φ 來表示。若令線段的較短段的長度為 1 ，則 φ 就滿足方程 φ = （1 + φ） / φ ，可解出 φ = （1 + √5）/2 。
在美學中，黃金分割有著不可估量的意義。在那些最偉大的美術作品中，每一個細節的構圖都充分展示了黃金分割之美。在人體中，黃金分割也無處不在——肘關節就是整隻手臂的黃金分割點，膝關節就是整條腿的黃金分割點，而肚臍則位於整個人的黃金分割點處。
在數學中，黃金分割 φ 也展示出了它的無窮魅力。例如，在正五角星中，同一條線上三個點 A 、 B 、 C 就滿足 AB ： BC = φ 。再比如，在 Fibonacci 數列 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， … 中，相鄰兩數之比將會越來越接近於 φ 。
NO.5 Khinchin 常數 K ≈ 2.685452
每一個實數都能寫成 a0 + 1/（a1 + 1/（a2 + …）） 的形式，其中 a0， a1， a2， … 都是整數。我們就把 ［a0； a1， a2， a3， …］ 叫做該數的連分數展開。和小數展開比起來，連分數展開具有更加優雅漂亮的性質，這使得連分數成為了數學研究中的必修課。
在 1964 年出版的一本連分數數學課本中，數學家 Khinchin 證明了這樣一個驚人的結論：除了有理數、二次整係數方程的根等部分特殊情況以外，幾乎所有實數的連分數展開序列的幾何平均數都收斂到一個相同的數，它約為 2。685452 。例如，圓周率 π 的連分數展開序列中，前 20 個數的幾何平均數約為 2。62819 ，前 100 個數的幾何平均數則為 2。69405 ，而前 1 000 000 個數的幾何平均數則為 2。68447 。
目前，人們對這個神秘常數的瞭解並不太多。雖然 Khinchin 常數很可能是無理數，但這一點至今仍未被證明。而 Khinchin 的精確值也並不容易求出。 1997 年， David Bailey 等人對一個收斂極快的數列進行了最佳化，但也只求出了 Khinchin 小數點後 7350 位。
NO.6 Conway 常數 λ ≈ 1.303577269
你能找出下面這個數列的規律嗎？
1， 11， 21， 1211， 111221， 312211， 13112221， 1113213211， …
這個數列的規律簡單而又有趣。數列中的第一個數是 1 。從第二個數開始，每個數都是對前一個數的描述：第二個數 11 就表示它的前一個數是“ 1 個 1 ”，第三個數 21 就表示它的前一個數是“ 2 個 1 ”，第四個數 1211 就表示它的前一個數是“ 1 個 2 ， 1 個 1 ”……這個有趣的數列就叫做“外觀數列”。
外觀數列有很多有趣的性質。例如，數列中的數雖然會越來越長，但數字 4 永遠不會出現。 1987 年，英國數學家 John Conway 發現，在這個數列中，相鄰兩數的長度之比越來越接近一個固定的數。最終，數列的長度增長率將穩定在某個約為 1。303577 的常數上。 John Conway 把這個常數命名為 Conway 常數，並用希臘字母 λ 表示。 John Conway 證明了 λ 是一個無理數，它是某個 71 次方程的唯一實數解。
NO.7 Champernowne 常數 C10 ≈ 0.1234567
把全體正整數從小到大依次寫成一排，並在最前面加上一個小數點，便得到了一個無限小數 0。1234567891011121314… 。這個數是由英國統計學家 Champernowne 於 1933 年構造出來的，他把它命名為 Champernowne 常數，用符號 C10 表示。與其它的數學常數相比，Champernowne 常數有一個很大的區別：這個數僅僅是為了論證一些數學問題而人為定義出來的，它並未描述任何一個數學物件。
Champernowne 常數有很多難能可貴的性質。首先，容易看出它是一個無限不迴圈小數，因此它也就是一個無理數。其次，它還是一個“超越數”，意即它不是任何一個整係數多項式方程的解。它還是一個“正規數”，意即每一種數字或者數字組合出現的機會都是均等的。在眾多數學領域中， Champernowne 常數都表現出了其非凡的意義。
