數學思想的重大變革，常量數學到變數數學

算術、初等代數、初等幾何和三角，都是以不變的數量和固定的圖形為其研究物件，也即常量是初等數學的主要內容。在現實世中“動”和“變”到是永恆的、絕對的、普遍的，而常量數學只能有效地描述相對穩定的現象，不能描述運動和變化的現象，於是變數數學應運而生。從常量數學到變數數學是數學思想的一次根本變革，其其標誌是解析幾何的誕生和微積分的建立。

解析幾何

解析幾何透過座標，把代數與幾何結合在一起：實數與直線上的點成一一對應，而實數對與平面上的點成一一對應；平面上的曲線可用含兩個變暈的代數方程來表示，而一個含兩個變數的代數方程表示著平面的曲。解析幾何採用的方法是“把幾何問題轉化為代數計算的問題”。這種統一的代數方法，被應用於研究曲線具有什麼樣的幾何性質，並由此發展出代數幾何學的新思想；其次，突破了幾何直觀的限制，開拓了發展數學的新思路，提出了新的數學思想方法；第三，代數與幾何的結合，揭示了數學內在的統一性。

微積分

變數數學發展的第二個重要階段是微積分的創立，17世紀著名的數學家牛頓從運動學，萊布尼茲從幾何學，分別獨立研究和建立了微積分。微積分思想的出現，一方面向原有的常量數學滲透，使內容得到了極大的豐富，在思想方法上發生了深刻的變化。另一方面，催生了常微分方程論、偏微分方程論、微分幾何、複變函式論、解析數論等新的數學分支，並且微積分的思想方法長期影響著數學發展的方向，在整個數學的發展中佔了主導地位。微積分擴大了數學思想方法的應用領域，促進了自然科學學科的進一步發展。為唯物辯證法的普遍規律在數學上提供了例證。微積分中處處充滿著矛盾：常量與變數、收斂與發散、有限與無限、近似與精確、連續與間斷、微分與積分等。

衍生思想

變數思想衍生出了大量的新思想、新方法：集合思想，函式與方程思想，極限思想，數形結合思想等等。集合是現代數學中最基本的概念之一，被廣泛應用於數學各分支學科中。集合的概念及運算常常體現在實際問題的解決中，常把某些具有共同屬性或性質的事物視為一個整體，對其作統一的研究和處理。由於集合的元素是任意的物件，使的數學應用的領域大大拓廣。

函式思想的建立是數學從常量數學轉入變數數學的樞紐，用聯絡、變化的觀點，建立各變數或集合間的“函式”關係，使數學能有效地揭示事物運動變化的規律，反映事物（集合）間的相互聯絡，使數學由研究狀態進到研究過程，進而引起了傳統常量數學觀點的更新，如方程、不等式、數列、三角學等內容都可以統歸到函式思想下進行研究。

函式與方程是緊密聯絡的兩個概念，方程可以理解為函式的零點問題，其求解可利用函式的有關性質和方法。方程的思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關係，透過設未知數、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求出未知量的解題思路和策略，它是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎。

變數思想開始進入數學，數學思想方法發生了重大的變革，成為近代和現代數學中最重要、最基本的思想之一。在解決具體的數學問題或其他的科學問題時，一定要有變數數學的思想和意識，能夠觀察、歸納、猜想兩個集合間的“因果”或“對應”關係，換句話說，用數學語言準確的描述問題後，透過數學工具來求的解答。

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