畢達哥拉斯==數學史上的第一個數學家
人類科學上真正有意義的研究從古希臘開始，而現代數學史上出現的第一個數學家大家幾乎一致認定是畢達哥拉斯。
前面我們聊過，古希臘人熱衷探索自然界，探索人類社會乃至探索人怎麼才能生活幸福。非常奇怪的是，這些探索都離不開數學，雖然柏拉圖，亞里斯多德等大師對後世有非常大的影響，但是古希臘最大的成就還是建立了一個比較完美的數學世界，這個數學世界不像柏拉圖的理想國，或者亞里斯多德的形而上學自然觀，對人類歷史產生非常大的負面影響，數學帶給大家的是理性，是想象力，是鍥而不捨的探索精神。一旦人類社會進入良性發展時期，數學就大爆發，比如文藝復興時期，英國大憲章時代以及法國大革命如火如荼的年代等，那些雖然動盪，卻是美好的年代，數學都如井噴式發展。而黑暗的中世紀，追求個人慾望無窮大以及經常被宗教凌駕一切的羅馬時代，數學都停滯不前，沒有任何驚人的發現和發明，這一切肯定不是巧合。
最早把數抽象出來，並把數的地位提高無以倫比的高度就是古希臘非常有名而且神秘的畢達哥拉斯流派。萬物皆數是這個流派的口號，而正是這個口號，拉開了數學研究的序幕，也使得畢達哥拉斯成了數學史上的第一個數學家。
由於古希臘的文字都是記錄在非常不容易儲存，現在稱為草片的媒介上，加上連綿不斷的戰爭，各種變態統治者瘋狂地焚書行為，古希臘的原始資料現在幾乎沒有了。流傳下來的關於古希臘的記載可以說都是通過後來人的手抄本，一代一代傳下來的。當時拜占庭有保留文獻的傳統，加上各類有心人士的手抄和珍藏，才使得古希臘的數學成果流傳到今天。原始資料雖然幾乎全部流失，但這並不表明古希臘燦爛的文化被完全的磨滅，代代相傳的手抄本，經專家嚴格考證，形成非常完整的邏輯鏈條，證明了古希臘文明的存在和偉大，任何否定古希臘人令人驚歎的成果和結論都是愚蠢的表現。
從另一方面講，流傳下來的資訊是非常不完善的，比如關於畢達哥拉斯及其他的追隨者的記錄都是從很多零散資料中總結出來的。我們幾乎完全不知道畢達哥拉斯的生平，也就是說，畢達哥拉斯生活中的故事我們一點也不知道。這點不奇怪，因為畢達哥拉斯及其學生一起創造的畢達哥拉斯流派是一個神秘組織。這個組織對外一點資訊都不公開，外人瞭解他們都是透過他們對數的痴迷。也許是這一點使得當時的古希臘人對畢達哥拉斯流派有了很大的好奇，這樣的好奇心肯定會在一定程度上揭開畢達哥拉斯流派的神秘面紗，使我們後人有了一些得以流傳下來的，關於這個學派的成就和故事。
現在公認的事實是，畢達哥拉斯以及他的門徒對數從具體實物中抽象出來做了重大的貢獻。當然剛開始時，他們也是把數跟具體物品相聯絡的。但是畢達哥拉斯流派向前邁出了非常關鍵的一步，那就是他們認為數是宇宙的要素，也就是所謂的萬物皆數，世界上所有的東西都可以用數來表達或者說由陣列成。這有點像他們把數當作現代科學中的原子，我們知道世界上所有的物質都是由原子組成的，而畢達哥拉斯流派心目中的數就是我們腦海裡的原子。
這對我們現代人來說有點難理解。如果你認為物質由陣列成，那是怎麼組成的呢？不過畢達哥拉斯及其門徒沒有回答這個怎麼組成的問題，他（或者是他的門徒，這個歷史資料沒有記載）首先把數抽象出來，然後研究數的特性，這樣真正意義上的數學研究就開始了。所以說畢達哥拉斯是數學史上的第一個數學家是得到絕大多數數學史研究者的認可。
從某種意義上講，畢達哥拉斯想證明的是，我們生活的社會是和諧的，是有序的，是值得我們熱愛和為之奮鬥的。他能在歷史上創立一個名垂青史的流派，肯定有他積極的一面，否則就不會在他生存的公元前585年（據說這一年畢達哥拉斯出生）以及後來的一個世紀那麼有名，那麼能吸引人加入他的流派。
每個人都想追求美好的生活，大多數人都想把人類社會變得更美好。畢達哥拉斯就是從這個人的天性出發，帶領畢達哥拉斯流派的門徒研究數學，發掘出自然界和人類社會的美及和諧，這一點跟現代數學史家強調數學的美有異曲同工之妙，不過畢達哥拉斯遇到的困難要大得多。
首先，畢達哥拉斯研究數學乃至自然界的美目的並不是為了研究發展數學，他的目的很大程度上是為了在當時古希臘社會中生存得更好。所以說他成為人類歷史上第一個數學家可以說是偶然或者說並不是畢達哥拉斯想要的。如果按照現在的思維去理解畢達哥拉斯當時的想法應該是：畢達哥拉斯認為他找到一個描繪人類社會的工具（也就是數學），研究數學一方面可以發現自然界和人類社會的和諧，另一方面，透過數學研究可以指導人們更好地規劃自己的行為，以使人類更好的適應自然界。這一點放在現在，似乎有些說服力，現代教育很大一個組成部分就是數學學習，我們現代人透過數學學習，確實更加了解自然界，同時在我們工作中，數學知識也對我們幫助很大。
不過對畢達哥拉斯來說，事情就複雜多了，畢竟他生活的年代，愚昧思維佔統治地位，信奉神靈是絕大多數人的選擇。按照記載，畢達哥拉斯及其門徒在古希臘一個地方（叫做克羅頓）成立的第一個社團就被當地的公民反對，最終不得不搬到另外一個地方（現在義大利南部的梅塔彭提翁）發展，估計是被當作邪教。
好在畢達哥拉斯流派在梅塔彭提翁發展得很好，否則數學的產生估計要晚很多年。畢達哥拉斯甚至被看成一個擁有魔力的神話式人物，他也終老在此地，開始了他神秘的數學研究和知識傳播。
從數學上講，畢達哥拉斯第一步是把數抽象出來，同時他還把數和幾何中的點放在一起研究，或者說不區分數和幾何中的點。這樣做的好處，就是可以用幾何圖形來研究數的性質。一個抽象的數學學科從此呼之欲出。
具體來講，畢達哥拉斯流派把數進行了各種分類。有一種分類方法是透過點排列的形狀把數分成三角形數，正方形數等等。之所以叫三角形數（具體的是1，3，6和10），是因為相應的點能排成正三角形。1個點不用說，可以看成一個無窮小的正三角形；3個點，一個點在上，兩個點在下也是一個正三角形；6個點，第一排一個點，第二排兩個點，第三排三個點，這樣也可以構成一個正三角形，10個點類似，大家可以去試試。
正方形數（1，4，9，16，…）也是同理。這應該是人類歷史上第一次對數分類，表面看平淡無奇，但隨著分類的增多，規則的複雜，事情發生了根本變化，產生了意想不到的突破。比如研究五邊形數，六邊形數直到直角三角形數，導致了現在西方稱為畢達哥拉斯定理（我們中國人一般稱為勾股定理）的發現和證明，這個定理被很多人認為是數學史上第一個最重要的定理。當然現在學術上還有些爭論，那就是畢達哥拉斯定理是不是畢達哥拉斯發現和第一個證明的，由於文獻缺失，這個爭論也許永遠沒有結果。
畢達哥拉斯定理雖然非常重要，然而更加重要的是，這個定理很可能是無理數產生的來源。無理數的產生可以說是數學進入真正研究範疇的一大誘因，後續很多現代數學理論都是因為探索無理數性質產生的。無理數的產生還造成了畢達哥拉斯流派的崩塌，這又是怎麼一回事呢？
事情還要從畢達哥拉斯流派的理想和諧社會講起。在畢達哥拉斯想象中，數都是和諧的（因為數是社會的化身），如果數不和諧，人類社會就無法得到充分認識。而數的和諧最重要的是它的可度量性。從幾何意義上講，任何一條線段，都可以被另一條線段度量。簡單講，就是取一個單位線段，任何線段都是單位線段的正整數倍。
為什麼畢達哥拉斯流派有這樣的前提？首先，這個流派只研究整數，他們認為只有整數才是和諧的，這一點也好解釋。對於一個無限不迴圈小數（也就是無理數），在畢達哥拉斯那個年代，怎麼可能去研究它？一個無理數究竟等於多少也不知道，這樣的數要遠古時代的畢達哥拉斯去研究確實勉為其難了。
其次，任何數都可以整倍數的與其它數相聯絡，這一點看起來非常和諧。無理數性質的突變以及難捉摸性肯定不是當時古希臘人想看到的。如果畢達哥拉斯流派一開始就提出有無理數這樣古怪的數，他們根本就無法在古希臘那個年代生存下來。這一點，從後面數學家研究無理數遇到的巨大困難，你就可以想象得到，不說別的，很多無理數你想嚴格證明它的無理性都非常困難，更不用說研究它的性質。
當然畢達哥拉斯流派的崩塌更大因素還因為它的神秘性，也就是它拒絕跟外界分享他們的發現發明。這在歷史書上也有很多故事，由於篇幅的原因，就下一篇再聊吧。
