一週一定理No.6 畢達哥拉斯定理（勾股定理）
作者 | 孫志躍（微信公眾號：好玩的數學）
有一個數學定理是每個人在學校都要學習的，這個定理在西方一般稱為畢達哥拉斯定理，而在中國，我們習慣把它叫做勾股定理。因此，在本文中，我們有時會說畢達哥拉斯定理，有時又稱其為勾股定理。
該定理一般被描述為：
直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。
如果設直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c，那麼可以用數學語言表達為：
a²+b²=c²
。
有趣的是，雖然畢達哥拉斯及其學派發現了畢達哥拉斯定理，但是遠在畢達哥拉斯出生前，這一定理便早已廣為人知。
在哥倫比亞大學圖書館，現今仍儲存著一份被命名為《普林頓322》的表。該表是從集市購得的泥版文書，因曾被一個叫普林頓的人收藏而得名，“322”是普林頓的收藏編號，但其最初來源不詳。《普林頓322》實是一張表格，上面記載的文字屬古巴比倫語，可推測所屬年代在公元前1600年以前。它含有4列15行數字，經研究，人們普遍認為，這張表展現了部分畢達哥拉斯三元陣列的推導過程。畢達哥拉斯三元陣列是由三邊均為整數的直角三角形的三邊長組成，例如（3，4，5）和（5，12，13）都構成畢達哥拉斯三元陣列，因為3²+4²=5²，5²+12²=13²。《普林頓322》的存在表明早在畢達哥拉斯1000多年以前，古巴比倫人就已經知道了畢達哥拉斯定理。
被稱為《普林頓322》的巴比倫表。它是自古以來被研究得最多的一份數學資料。人們認為它是畢達哥拉斯三元陣列的一個列表，制於畢達哥拉斯出生的1000年前。
古希臘幾何學家歐幾里德（Euclid，約公元前300年）在編著《幾何原本》時，認為這個定理是畢達哥拉斯最早發現的，所以他就把這個定理稱為“畢達哥拉斯定理”，並流傳至今。
而關於勾股定理的名稱，則來源於中國最早的數學和天文學著作《周髀算經》。《周髀算經》，原名《周髀》，是我國最古的一部蓋天學說的天算著作。因書中含有算學內容，在唐代時被定為國子監算學科必修的十部算經之一。撰者不詳。成書期據考證大約是西漢時期。書中開頭就以周公與商高對話形式，給出了勾股定理的一個特例：“
故折矩以為勾廣三， 股修四，徑隅五。
”在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”。 商高這段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成“
勾三股四弦五
”。
後來周公的後代
陳子
把商高的“勾三股四弦五”的結論3²+4²=5²推而廣之，說了下面一句十分重要的有歷史意義的話：“
若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘 , 並而開方除之，得邪至日。
”此言同樣出自《周髀算經》捲上，用現在的話來講就是“弦²=勾²+股² ”。這實際上已把勾股定理的運用推廣到了任意直角三角形。
由於勾股定理的內容最早見於商高的話中，所以人們又把這個定理叫作“
商高定理
”。
商高是公元前十一世紀的西周數學家，畢達哥拉斯（Pythagoras）則是公元前五世紀的古希臘數學家，比商高晚了500多年，所以一些人認為中國人比西方人早500年發現了勾股定理，並以此為自豪。但是如果將該定理的最早發現權歸功於公元前1600年的古巴比倫人，那麼我們則要晚上約500年。這樣看來，就有些盲目自豪了。其實中國古代數學的輝煌成就早已被世界範圍的數學家們所認同，不一定非得爭第一才肯罷休。最近看一些外國人寫的書，從字裡行間發現他們對中國古代數學有很深的研究，這已經是最好的證明。
下面我們再來說說該定理的證明。
雖然畢達哥拉斯定理早就被畢達哥拉斯同時代及其之前的人們所熟知，但是第一個真正給出該定理的證明過程的卻是比畢達哥拉斯晚約200年的歐幾里得。歐幾里得在其皇皇鉅著《幾何原本》給出了畢達哥拉斯定理的證明，他的證明可謂巧妙至極，該命題位於第Ⅰ卷第47號命題，因此一般稱為命題Ⅰ。47。
【命題Ⅰ.47】在直角三角形中，斜邊上的正方形面積等於兩直角邊上的正方形面積之和。
值得注意的是，歐幾里得的命題並不是關於代數方程a²+b²=c²的，而是述及了一種幾何現象，實則與代數形式等價。為了證明以AC和BC為邊的兩個小正方形面積之和等於以斜邊AB為邊的大正方形面積（如下圖）。他採用了一個非常奇妙的方法，從直角頂點開始作線段CL，使之與大正方形的邊平行，並將大正方形分割成兩個矩形。現在，歐幾里得只要證明一個顯著的事實即可：左邊矩形ADLK的面積等於以AC為邊的正方形面積（黃色部分）；同樣，右邊矩形BELK的面積等於以BC為邊的正方形面積（紅色部分）。
【證明】
過點C作CL//AD交AB於點K，交DE於點L，連線CD，BF，則CL⊥DE，且CL⊥AB。
在△ACD與△AFB中，
因為 AC=AF，AD=AB，∠CAD=∠BAD+∠BAC=∠CAF+∠BAC=∠FAB，
所以，△ACD≌△AFB，從而△ACD與△AFB的面積相等。
接下來，由於△ACD與矩形ADLK有一條公共邊AD，並且位於同兩條平行線AD與CL之間，因此，矩形ADLK的面積等於△ACD面積的2倍。同理，因為△AFB與正方形ACGF有一條公共邊AF，並且位於同兩條平行線AF與BG之間，因此，正方形ACGF的面積等於△AFB面積的2倍。
從而正方形ACGF的面積與矩形ADLK的面積相等。
用同樣的方法可以證明：正方形BCHI的面積與矩形BELK的面積。
至此，畢達哥的斯定理得以證明，因為：
S（正方形ABED）
=S（矩形ADLK）+S（矩形BELK）
=S（正方形ACGF）+S（正方形BCHI）
證畢。
1566年版《幾何原本》中的命題Ⅰ。47。因歐幾里得證明所應用的圖形外形看起來像“風車”，所以人們常常將其稱作“風車”圖形。
我國古代對勾股定理的證明採用的是割補法，最早的形式見於公元3世紀三國時期吳人趙爽的
《勾股圓方圖注》
。在這篇短文中，趙爽畫了一張他所謂的“
弦圖
”，其中每一個直角三角形稱為“
朱實
”，中間的一個正方形稱為“
中黃實
”，以弦為邊的大正方形叫做“
弦實
”。
趙爽弦圖的證法
如果以a、b、c分別表示勾、股、弦之長，根據大正方形面積（弦實）等於四個直角三角形面積（朱實）與小正形面積（中黃實）之和，得
化簡整理，得
當然，勾股定理的證明方法不是隻有以上兩種，實際上有數百種之多，更多方法可見李邁新著《挑戰思維極限：勾股定理的365種證明》一書，書中分門別類收集了勾股定理的365種證明方法。一些常用的證明方法可見好玩的數學之前的推文>>勾股定理的這些美妙的證法你知道嗎？
參考資料
天才引導的歷程：數學中的偉大定理，［美］William Dunham 著，李繁榮 李莉萍譯，機械工業出版社，2018。9。
數學的故事，［英］Richard Mankiewcz 著，馮速等譯，海南出版社，2014。3。
數學演義，王樹和著，科學出版社，2015。3。
每日薦書
《挑戰思維極限：勾股定理的365種證明》
作者：李邁新
清華大學出版社，2016。12
ISBN：9787302458791
定價：39。8元
▼內容簡介
本書主要介紹了勾股定理的 365 種證明方法， 並按證法的型別進行歸納、整理和總結， 讓 讀者有一個全面而系統的瞭解。 書中大多數證法用到的知識不超過初中幾何的教學範圍， 許多證法思路巧妙， 別具一格， 對提高讀者的幾何素養大有裨益。 本書可以作為廣大中學師生和數學愛好者的參考讀物。
