8個角度剖析,快速掌握有理數的加減法有秘訣
大家一定聽說過“曹衝稱象”的故事,五六歲的曹衝,把稱大象重量這個未知的、陌生的、複雜的問題,轉化成了稱石頭重量這個已知的、熟悉的、簡單的問題,這在數學當中就叫做轉化思想。有理數的加減運算就蘊含不少轉化思想,下面我們來探究一下吧。
一、有理數的加法
把兩個有理數合併成一個有理數的運算,叫有理數的加法。
由於有理數分成正數、零、負數三類,所以兩個有理數的加法就有了以下五種情況①兩數同正,②兩數同負,③兩數異號,④有理數和零(包括正數和零,負數和零),⑤零和零。
二、用數軸表示有理數的加法
我們可以藉助數軸來理解有理數的加法法則,兩數相加可以看作是一個點從原點出發連續作兩次運動,向右移動的距離用正數表示,向左移動用負數表示,那麼這兩個點的兩次運動最後到達的位置就是這兩個數的和。
①(-5)+(-3)為多少,這表示向左移動5個單位長度,在向左移動3個單位長度,如圖該點最後在原點左側8個單位長度,即(-5)+(-3)=-8。
溫馨提示:
可見同號有理數相加時,保留原來的符號,絕對值相加。
②(+5)+(-3)為多少, 這表示向右移動5個單位長度,在向左移動3個單位長度,如圖該點最後在原點右側2個單位長度,即(+5)+(-3)=+2
溫馨提示:
可見異號有理數相加時,保留絕對值較大數的的符號,絕對值相減。
③(-5)+0為多少, 這表示向左移動5個單位長度,然後靜止不動,如圖,可知,該點只做了一次運動,即(-5)+0=-5。
溫馨提示:
可見一個有理數與0相加,仍得這個數。
三、有理數的加法法則:
①同號兩數相加,取相同的符號,並把絕對值相加。②絕對值不相等的異號兩數相加,取絕對值較大加數的符號,並用較大的絕對值減去較小的絕對值,互為相反數的兩個數相加得0。③一個數與0相加,仍得這個數。
簡單地說,有理數加法運算的基本步驟:一是辨別兩個加數是同號還是異號,二是確定和的符號,三是判斷應利用絕對值的和還是差進行計算.
速記口訣:
同號相加一邊倒,
異號相加大減小,
符號跟著大的跑,
絕對值相等“0”正好。
有理數加法法則用字母表示為:
1。若a>0,b>0,則a+b=+(|a|+|b|);若a<0,b<0,則a+b=-(|a|+|b|)。
2。若a>0,b<0,且|a|>|b|,則a+b=+(|a|+|b|);
若a>0,b<0,且|a|<|b|,則a+b=-(|b|-|a|);
若a>0,b<0,且|a|=|b|,則a+b=0。
3。a+0=a。
溫馨提示:
①有理數的加發法則是進行有理數運算的依據,進行加法運算時要先確定用哪條法則。②運算過程中一定要要牢記“先符號,後絕對值”,一定要確定好符號。解決此類問題,通常把整數部分與分數部分分開相加。
四、有理數的加法運算律
小學學過的運算定律在有理數範圍內仍然適用,即有a+b=b+a(加法交換律):(a+b)+c=a+(b+c)(加法結合律)。
利用加法的交換律和結合律可以簡化運算的過程:
小結:
在較複雜的加法運算中,運算繁鎖且容易出錯,運用運算律常可使問題簡化。
例3.
計算:(-78)+(-77)+(-76)+(-75)+…+(+100)。
分析:
本題是從-78開始連線的整數相加,一直加到100,其中-78與78,-77與77,-76與76,…,-1與1的和分別是0,所以只需考慮79+80+…+100,而79到100有(100-79+1)=22個,這22個數再分成100與79,99與80,…,90與89。共11組,每組的和都是179,所以總和為179×11=1969。
解:
(-78)+(-77)+(-76)+(-75)+…+(+100)
=[(-78)+(+78)]+[(-77)+(+77)]+ …+[(-1)+(+1)]+0+79+
80+…+100=79+80+…+100
=179×11=1969。
點評:
做這樣的題目不光要巧妙地運用運算律,還要學會分析其變化規律。
五、用數軸表示有理數的減法
情境探究:
規定:人面向數軸正方向運動為加;運動形式:前進記為正.
則有:人面向數軸負方向運動為減;運動形式:後退記為負.
1
、小明的走法為:
面向數軸負方向從5後退3個單位到8.記為:
5
-
(
-
3)= 8.
小麗的走法為:
面向數軸正方向從5前進3個單位到8.記為:
5+(+3)= 8.
小明、小麗都是從5運動到8,因此,
5
-(-3)=5+(+3),
即:減去
–
3
等於加上
+3
.
2
、小明的走法為:
面向數軸負方向從5前進6個單位到-1.記為:5-(+6)=-1
小麗的走法為:
面向數軸正方向從5後退6個單位到-1.記為:5+(-6)=-1
小明、小麗都是從5運動到-1.
因此,5-(+6)=5+(-6),即:減去(+6)等於加上(-6).
歸納:
人面向數軸負方向後退與人面向數軸正方向前進是等效的;同樣,人面向數軸反方向前進與人面向數軸正方向後退也是等效的.
這與有理數的減法法則一致:
減去一個數等於加上這個數的相反數.
這樣,對有理數的加法與減法建立了相適應的數學模型,把減法變為加法提供了一種合理的解釋.
數學就在我們生活之中,我們要在生活中不斷地思考,才能發展自己的思維能力,開拓自己的想象力,也有助於我們以後進一步學習.
六、有理數減法法則
有理數減法法則:
可以表示為:a-b=a+(-b),所以有理數減法法則的實質是將減法轉化為加法,其轉化的方法是“兩變”:一是“變”減號為加號;二是將減數“變”為它的相反數.
溫馨提示:
要明白以下幾點:①要清楚減數的符號(是“+”還是“-”),②將有理數減法轉化為加法時要同時改變兩個符號,一個是運算子號由“-”變為“+”另一個是減數的性質符號。③有理數與0的減法運算。
簡單地說,做有理數減法時,我們必須明確兩點:
一是進行有理數減法運算的關鍵在於利用法則變減法為加法;二是有理數減法不能直接進行計算,只有轉化
為加法後才能進行計算.
七、有理數減法統一為加法的意義:
對於有理數的加減混合運算中的減法,可以根據減法法則將減法轉化為加法。這樣可以統一成幾個正數或負數的和的形式。
如:(-11)-(+7)+(-4)-(-3)=(-11)+(-7)+(-4)+(3)
2。在和式裡,通常把各個加數的括號和它前面的加號省略不寫,寫成省略加號的和的形式:
如:(-11)+(-7)+(-4)+(+3)=-11-7-4+3
3。和式的讀法:一是按這個式子表示的意義,讀作“-11,-7,-4,+3的和”二是按運算意義讀作“負11,減7,減4,加3”。