七年級數學相交線與平行線
相交線與平行線怎麼理解
知識要點：
相交線與平行線知識框圖
一、相交線
1．鄰補角、對頂角的相關概念
（1）鄰補角：
如果兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，那麼這兩個角互為鄰補角。
（2）對頂角：
如果一個角的兩邊是另一個角的兩邊的反向延長線，那麼這兩個角互為對頂角。
如圖，直線 AB 和 CD 相交於 O 點，形成四個角，分別是 ∠1，∠2，∠3，∠4 。
其中鄰補角有
4
對，分別是
∠1 和 ∠2，∠2 和 ∠3，∠3 和 ∠4，∠4 和 ∠1
；
對頂角有
2
對，分別是
∠1 和 ∠3，∠2 和 ∠4
。
2.鄰補角和對頂角的性質
鄰補角
互補
；對頂角
相等
。
3.鄰補角、對頂角的應用
【例題1】
如圖，直線 a，b 相交，∠1=45°，求 ∠2，∠3，∠4 的度數．
解：
∵ ∠1 + ∠2 = 180°，
∴ ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 45° = 135° 。
∵ ∠3 = ∠1，∠4 = ∠2，
∴ ∠3 = 45°，∠4 = 135° 。
二、垂線
1.垂線的相關概念
（1）垂直：
兩條直線相交，有一個夾角是
直角
，這兩條直線互相
垂直
；
（2）垂線：
兩條直線互相
垂直
，其中一條直線叫作另一條直線的
垂線
。
2.垂直的性質與判定
如圖，
（1） 垂直的性質：
∵ AB⊥CD （ 已知 ），
∴
∠AOC = 90°
（ 垂直的定義 ）。
（2）垂直的判定：
∵ ∠AOC=90° （ 已知 ），
∴
AB⊥CD
（ 垂直的定義 ） 。
3.垂線的性質
在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 。
4.垂線的應用
【例題2】
如圖，直線 AB 與 CD 相交於點 O，OE⊥AB 於點 O，∠1 = 40°，
求 ∠2 和 ∠COA 的度數 。
解：
∵ OE⊥AB，
∴ ∠BOE = 90°，
∵ ∠2 + ∠BOE + ∠1 = 180°，
∴ ∠2 = 180° - ∠BOE - ∠1 = 50° 。
又 ∵ ∠2 + ∠COA = 180°，
∴ ∠COA = 180° - ∠2 = 130° 。
三、點到直線的距離
1.垂線段的定義：
如圖，直線 PC⊥AB，把線段 PC 叫做點 P 到直線 AB 的
垂線段
。
2.連線直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短 .
如圖，下列選項中最短的線段是 （
B
）
A。PA B。PB C。PC D。PD
3.直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到這條直線的距離 .
如圖，線段 PB 的長度，叫做點 P 到直線
m 的距離
。
四、同位角、內錯角、同旁內角
1.三線八角
如圖，直線 AB，CD 被直線 EF 所截，構成八個角，簡稱“三線八角”。
（1）同側同向 —— 同位角：
例如 ∠1 和 ∠5，圖中還有 ∠4 和
∠8
，∠2 和
∠6
，∠7 和
∠3
；
（2）兩側異向 —— 內錯角：
例如 ∠3 和 ∠5，圖中還有
∠4
和
∠6
；
（3）同側異向 —— 同旁內角：
例如 ∠3 和 ∠6，圖中還有
∠4
和
∠5
。
2.同位角、內錯角、同旁內角
【例題3】
如圖，
① ∠1 與
∠4
是同位角；② ∠2 與
∠1
是內錯角 ； ③ ∠3 與
∠1
是同旁內角 。
3.同位角、內錯角、同旁內角的應用
【例題4】
如圖，
① ∠1 和 ∠8 是直線
AF
與直線
AG
被直線
DE
所截形成的
同旁內
角 ；
② ∠4 和 ∠8 是直線
AF
與直線
AG
被直線
DE
所截形成的
同位
角 ；
③ ∠2 和 ∠8 是直線
AF
與直線
AG
被直線
DE
所截形成的
內錯
角 。
五、平行線
1．平行線的定義
（1）觀察思考：
在轉動直線 a 的過程中，有沒有直線 a 與直線 b 不相交的位置呢？
（2）定義及表示方法：
在同一平面內，
不相交的兩條直線
是平行線 。
直線 a 與 b 平行，記作
a∥b
。
（3）總結：
同一平面內兩條直線的位置關係有兩種：①
平行
，②
相交
。
2.平行公理及推論
（1）經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。
（2）推論：
如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行 。
如圖，
∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c 。
3.平行線的判定
（1）判定方法 1：
兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行。
簡單說成：
同位角相等，兩直線平行
。
如上圖所示，用直尺和三角尺作出直線 AB，CD，
得到 AB∥CD 的理由是
同位角相等
，兩直線平行．
結合圖形，用符號語言表述平行線
判定方法
：
∵ ∠1=∠2 （ 已知 ），
∴
AB∥CD
（
同位角相等
，兩直線平行 ） 。
（2）判定方法 2：
兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那麼兩直線平行。
簡單說成：
內錯角相等，兩直線平行
。
如圖，
∵ ∠1=∠2，
∴
a∥b
（
內錯角相等
，兩直線平行）。
（3）判定方法 3：
兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那麼這兩條直線平行 。
簡單說成：
同旁內角互補，兩直線平行
。
如圖，
∵ ∠1 + ∠4 = 180°，
∴
a∥c
（
同旁內角互補
，兩直線平行）。
（4）判定方法 4：
在同一平面內，如果兩條直線都垂直於同一條直線，那麼這兩條直線平行 。
∵ b⊥a ， c⊥a ，
∴
b∥c
。
4.平行線的性質
（1）兩直線平行，同位角相等；
（2）兩直線平行，內錯角相等；
（3）兩直線平行，同旁內角互補 。
【例題5】
如圖所示，已知 AB∥CD 。
（1）∠ABE = 130°，∠CDE = 152°，求 ∠E 的度數；
（2）請猜想 ∠B + ∠E + ∠D 的度數，並說明理由 。
參考答案：
（1）∠E = 78°；
（2）∠B + ∠E + ∠D = 360° 。
（提示：過點 E 作 EF∥AB 。 ）
