關於“結構側向振動”的一次不成功探索
前段時間，寫了兩篇文章談單自由度結構的豎向振動，文章從理論及模型計算兩個維度，對比時域及頻域分析結果的異同。
《結構振動加速度分析的來龍去脈》
《人行舒適度分析中的陷阱》
這篇文章主要討論多質點結構側向振動的問題，這也是結構動力分析的基礎。我們首先從最簡單的單自由度結構開始。
1
、單自由度結構
結構動力學中，一個典型的單自由度結構如下：
圖1
對上述結構，其側向振動週期為T=2π（m/K）^0。5；如果豎杆為等截面直杆，假設其長度為L，慣性矩為I，彈性模量為E，則其側向剛度為K=3EL/L^3。
假設豎杆截面為600mmX600mm，L=6m，彈性模量為3e4 Mpa，m=28。5t，計算週期為0。5s。
在SAP2000中，豎向懸臂杆可以按真實的杆件去模擬（剛質量為設為零），也可以按兩點連線單元模擬，前者的計算週期為0。5018s，後者為0。5000s，略有差別。
圖2
二者的計算結果雖然基本一致，但原理不同，前者我們用的是懸臂杆的側向彎曲剛度，後者的模擬方式其實是剪下剛度。
2、單層框架結構
我們建立一個四柱框架結構，柱子截面為600mmX600mm，框架樑截面為300mmX600mm，次梁截面為250mmX500mm，樓板厚度為100mm，板面荷載為5。0kPa（2。0kpa），材料均為混凝土C30；柱距6。0m，高度12。0m，樓板採用剛性樓板假定。這裡需要注意：框架邊梁剛度放大係數取1。5。
圖3
對這樣一個結構，我們在樓面標高施加水平荷載300kN，得到側向位移為44mm，所以側向剛度為K=300/0。044=6818。2kN/m。
將框架柱的質量指定為0，此時結構質量主要集中在樓板範圍，根據軟體統計，樓面質量為46。1t，根據質量及剛度，手算得到側向振動週期為0。5165s，與SAP2000計算結果0。5161s一致。
圖4
接下來，我們看這個側向剛度是怎麼計算得到的？
框架結構的側向變形包含兩個方面，其一為剪下側移變形，其二為整體彎曲側移變形。
對剪下側移變形，可以採用D值法計算側移剛度。樑柱線剛度比為1。5，剛度影響係數α=（0。5+1。5）/（2+1。5）=0。571；
D=12*
α*i/h^2=12*0。571*187。5=1285。7kN/m；
4
顆柱的總側移剛度為 4*1285。7=5142。8kN/m <6818。2kN/m。
框架結構整體彎曲變形，會在柱中形成軸力，柱子的拉壓軸力組成抗傾覆彎矩，這個抗傾覆彎矩與柱底彎矩之和等於總的傾覆彎矩，即300*12=3600kN。m，與此相關的討論在
《
關於側向剛度的一些奇怪想法
》
中曾有提及。
經計算，柱底彎矩為496。72kN。m，柱中軸力為N=134。43kN（拉或壓）。
柱軸力引起的單柱平均軸向變形為：NH/2EA=0。0747mm；
柱子軸向變形引起的樓面側移為：2X0。0747/6X12=0。2988mm；SAP2000計算結果為0。2677mm，如果將軸力抵抗的傾覆彎矩等效為作用在樓面的水平力，其水平力為134。23kN，但按此計算側向剛度將非常誇張，明顯不合理。
圖5
結構整體彎曲變形對應的側向剛度究竟怎麼計算呢（或者這個問題本身就有問題）？結構側移剛度6818.2kN/m與D值法計算的總側移剛度5412.8kN/m之間的差值1405.4kN/m如何解釋呢？感興趣的讀者可以在留言區留言。
接著看，框架結構的整體彎曲效應提高了結構的側向剛度，如果我們把柱頂設定為鉸接，則整體彎曲效應就會消除。此時，樓面側向變形為133。575mm，對應側向剛度為2246kN/m，即4*3*EL/H^3，手算結果與模型計算完全吻合。
？
圖6
在SAP2000中建立下圖所示的單層框筒結構，在樓面標高施加水平荷載2430kN，對應側向變形為3。32mm，側向剛度為731928kN/m，樓面質量為1337。5t，手算結構側向振動週期為0。2686s，SAP2000計算側向振動週期為0。2708s，基本接近。
3、單層框筒結構
圖7
框筒結構的側向變形，我們以後再分析，這篇文章主要討論側向振動問題。對單質點結構來說，只要我們根據側向力/側向變形得到側向剛度，振動週期的計算基本都是吻合的。
圖8
為驗證SAP2000操作的準確性，我們先從教科書上找一個已知答案的案例。
理論計算過程如下：
在SAP2000中按案例引數分別輸入質量及剛度資訊，計算得到前三階週期分別為0。43268s、0。20237s、0。1363s，與理論計算結果完全一致。
4、多質點結構
圖9
圖10
5、多層框架結構
分別在YJK、SAP2000中建立四柱三層框架模型（剛性樓板假定、框柱質量為零），同時，在SAP2000中建立3質點模型。
1）三層框架結構
計算得到的側向振動週期對比如表1。
圖11
對比可以發現，YJK-框架模型和SAP-框架模型計算結果很接近，但SAP-質點模型第二側向週期和第三側向週期與框架模型結果差異較大，最主要的原因就在於：真實的框架模型，不但存在剪下剛度，也存在整體彎曲剛度，當我們採用常見的“糖葫蘆串”剪下模型進行模擬時，無法捕捉到整體彎曲剛度。
表1
圖a）為框架結構的第三階側向振動模態；圖b）為3質點結構（link單元模擬）的第三階側向振動模態；圖c）為3質點結構（杆單元模擬）的第三階側向振動模態。
圖13為YJK給出的結構振動資訊，可以看出，本示例結構對稱均勻，不存在斜向振動及平動與扭轉耦聯的情況。
圖12
下圖給出YJK的層質量及層剛度資訊。紅框括號中的數值即為各層的質量源（D+0。5L），綠框為層剛度資訊。
圖13
圖14
在YJK中建立圖15所示的12層框架結構，採用剛性樓板假定，
結構質量按YJK預設真實模擬
，側向振動週期對比如表2所示。
2）12層框架結構
圖15
表2
對比發現，YJK框架模型與SAP-多質點模型前三階振動週期比較接近，但高階振型週期差異越來越大，以致無法接受。
嚴格來說，常規的“
糖葫蘆
串
”剪下模型並不適用於框筒結構。以下只是為了對比差異。
在YJK中建立12層框筒結構（圖1
6
），採用剛性樓板假定，
結構質量按YJK預設真實模擬
，將YJK計算的側向振動週期與SAP2000多質點模型計算的側向振動週期對比，結果如表
3
。
6、多層框筒結構
對比發現，對以彎曲變形為主的多層結構，採用常規的多質點“糖葫蘆串”剪下模型進行模擬時，其高階振型的誤差將會非常大，且明顯大於框架結構的差異。
圖16
走到這一步，我在想，究竟有沒有改進的糖葫蘆串模型呢？比如可以考慮層間彎矩與層間轉角的層間彎剪模型呢？或許需要繼續探索。
表3
，是以一名結構工程師的視角，分享他在結構設計、諮詢，學習以及生活等方面的見聞及思考。旨在吸引更多志同道合的
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