數學分析:連續函式的強化練習
若對任何正數
1、設f在［a，b］上連續，x1，x2，…，xn∈［a，b］，
另有一組正數λ1，λ2，…，λn滿足λ1+λ2+…+λn=1。 證明：
存在一點ξ∈［a，b］，使得f（ξ）=λ1 f（x1）+λ2 f（x2）+…+λn f（xn）。
證
：∵f在［a，b］上連續，
∴f在［a，b］上有最大值M和最小值m。
令m’=min{f（x1），f（x2），…， f（xn）}，
M’=max{f（x1），f（x2），…， f（xn）}，則
λ1 f（x1）+λ2 f（x2）+…+λn f（xn）≤λ1M’+λ2M’+…+λnM’= M’；
λ1 f（x1）+λ2 f（x2）+…+λn f（xn）≥λ1m’+λ2m’+…+λnm’= m’。
∴m≤m’≤λ1 f（x1）+λ2 f（x2）+…+λn f（xn）≤M’≤M，
根據介值定理，必存在ξ∈［a，b］，
使得f（ξ）=λ1 f（x1）+λ2 f（x2）+…+λn f（xn）。
2、設f在［0，+∞）上連續，滿足0≤f（x）≤x， x∈［0，+∞），
設a1≥0，a_（n+1）=f（an）， n=1，2，…證明：
（1）{an}為收斂數列；（2）設lim（ n→∞）an=t，則有f（t）=t；
（3）若條件改為0≤f（x） 證 ：（1）∵0≤f（x）≤x， x∈［0，+∞），a_（n+1）=f（an）， n=1，2，… ∴a_（n+1）-an=f（an）-an≤0， n=1，2，… 即{an}單調減。 又a1≥0，f（x）≥0，a_（n+1）=f（an），∴an≥0， n=1，2，… 綜上可知{an}為單調遞減且有下界的數列，故必為收斂數列。 （2）∵lim（ n→∞）an=t，f在［0，+∞）上連續，t∈［0，+∞）， ∴t=lim（ n→∞）a_（n+1）=lim（ n→∞）f（an）=f（lim（ n→∞）an）=f（t）。 （3）∵an≥0且lim（ n→∞）an=t，∴t≥0。 當t>0時，t∈（0，+∞）且f（t） （2）中已證f（t）=t，矛盾。 ∴t=0。 3、設f在［0，1］上連續，f（0）=f（1）。 證明： 對任何正整數n，存在ξ∈［0，1］，使得f（ξ+1/n）=f（ξ）。 證 ：當n=1時，由f（1）=f（0）知ξ=0滿足要求； 當n>1時，令F（x）=f（x+1/n）-f（x）， ∵f在［0，1］上連續，∴f（x+1/n）在［-1/n， （n-1）/n］上連續， ∴F（x）在［0，（n-1）/n］上連續。 若對任何x∈［0，（n-1）/n］有F（x）≠0，則 恆有F（x）>0或F（x）<0。 又有F（0）+F（1/n）+…+F（（n-1）/n） =f（1/n）-f（0）+f（2/n）-f（1/n）+…+f（1）-f（（n-1）/n）=0，矛盾。 ∴必存在ξ∈［0，（n-1）/n］［0，1］， 使得F（ξ）=0，即f（ξ+1/n）=f（ξ）。 4、設f在x=0連續，且對任何x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）。 證明： （1）f在R上連續；（2）f（x）=f（1）x。 證 ：（1）∵f（0）=f（0+0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0， 又對任意x∈R，有△y=f（x+△x）-f（x）=f（x）+f（△x）-f（x）= f（△x）。 ∴lim（△x→0）△y=lim（△x→0）f（△x）=f（0）=0， 即f在R上連續。 （2）對任意自然數n，有f（nx）=nf（x）， 即f（x）=（f（nx））/n，∴f（x/n）=（f（x））/n。 設有理數r=p/q （p，q為自然數），則有 f（rx）=f（px/q）=pf（x/q）= p/qf（x）=rf（x）。 又f（0）=f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x）， ∴f（-rx）=-f（rx）=-rf（x）。 ∴對任意有理數r，有f（rx）=rf（x）。 對任意無理數a，取有理數列{rn}，使lim（ n→∞）rn=a，則 由f的連續性及f（rn x）=rnf（x）可知 f（ax）=f（lim（ n→∞）rnx）=lim（ n→∞）f（rn x）=lim（ n→∞）rnf（x）=af（x）。 綜上，對任何x，c∈R，都有f（cx）=cf（x），∴f（x）=f（1）x。 5、設定義在R上的函式f在0， 1兩點連續，且對任何x∈R，有f（x^2）=f（x）。 證明：f為常量函式。 證 ：當x∈（-1，1）且x≠0時，f（x）=f（x^2）=f（x^4）=…=f（x^（2^n ））。 又∵f在x=0連續， ∴f（x）=lim（ n→∞）f（x^（2^n））=f（lim（ n→∞） x^（2^n ））=f（0）； 當x=1時，由f的連續性得： f（1）=lim（ x→1- ）f（x）=lim（ x→1- ）f（0）=f（0）； 當x=-1時，f（-1）=f（（-1）^2）=f（1）=f（0）； ∴f（x）≡f（0）， x∈［-1，1］。 當x>1時，有f（x）=f（√x）=f（x）=…f（x^（1/2^n））。 又∵f在x=1連續， ∴f（x）=lim（ n→∞）f（x^（1/2^n）） =f（lim（ n→∞）x^（1/2^n））=f（1）=f（0）； 當x<-1時，x^2>1，∴f（x）=f（x^2）=f（1）=f（0）。 綜上，對一切x∈R，有f（x）≡f（0），∴f為常量函式。
