換還是不換？經典問題的新思路

三門問題

關於機率我們已經說了不少，現在來看看一個非常有趣的問題，這個問題是雜誌專欄作家賽凡特女士提出來的，問題裡的邏輯困境和前面的囚犯問題十分相似。

這個問題是：

你出現在一個遊戲節目裡，主持人指出標有1、2、3的三道門給你，而且明確告訴你，其中兩扇門背後是山羊，另一扇門後則有一輛名牌轎車，你要從三扇門裡選擇一個，並可以獲得所選門後的獎品。當然你希望自己選中的是汽車而非山羊。既然是三選一，很清楚，你選中汽車的機會就是1/3。

在沒有任何資訊幫助的情況下，你選了一個（比如1號門），這沒有什麼對與不對，完全是運氣問題。但主持人並沒有立刻開啟1號門，而是打開了3號，門後出現的是一隻羊。然後主持人問你：是否要改變主意選2號門？現在這就是個決策問題了：換還是不換？想一想吧！

賽凡特女士的答案是你應該換，想法大致如下：如果你選了1號門，你就有三分之一的機會獲得一輛轎車，但也有三分之二的機會——車子是在另外兩扇門後。接著好心的主持人讓你確定車子確實不在3號門後，不過1號門有車子的機率還是維持不變，而2號門後有車子的機率變成三分之二。實際上，3號門的機率轉移到了2號門上，所以你當然應該改選。

跟莫斯得勒的讀者對囚犯問題的熱烈反應一樣，賽凡特的遊戲也引來數以千計的讀者來信，讀者多半是認為她的推論是錯的，主張1、2號門應該有相同的機率，採用的也多半是囚犯的演算法，因為你已經把選擇變成2選1，也不知道哪扇門背後有車，因此機率應該跟拋硬幣一樣。有趣的是，一般大眾的來信裡，有90%認為她是錯的，而從大學寄來的信裡，只有60%反對她的意見，後來一些學者也加入了討論，且多半認為機率應該是1/2。賽凡特顯然很驚訝這個問題所引發的熱潮及反對聲浪，不過她仍堅持己見。

我對，你也對

令人驚奇的是，儘管雙方結論完全相反，卻都是對的，這也有個小故事。所羅門王有則趣事，兩位鄰人在國王面前爭論，每一位述說完畢，國王就說：“你對！”。剛好一位路過的人聽到了，就問國王：“怎麼可能兩個人都對？”於是國王回答：“嗯，你說得也對！”

在上述的謎題裡確實藏有一個未知資訊，

所有的參與者，包括賽凡特，都對該資訊作了不自覺的假設

。

現在也談夠謎題了，該來看看到底出了什麼問題？究竟遊戲者該不該換？任何決策問題的最佳解決之道就是先理清有哪些決策方案。現在所面對的是1、2、3號門後有一輛車，遊戲本身沒有其他特殊限制，因此大可假設這是一個公平遊戲，所以初始機率，一如前述，每個門都是1/3，到目前為止都沒問題。

現在遊戲者，就是你，選了1號門，到這兒也沒有什麼問題，因為你一無所知，所以猜對的機率是1/3。

好玩的部分開始了，因為主持人打開了3號門，而沒有人問他為什麼要開3號門。這兒有幾種可能性，主持人的選擇所傳達的資訊是什麼意思，這一點到目前還是未知。

主持人可能只想玩一玩

，只要遊戲者選1號，他就一定開3號門，不管3號門後是不是車，如果剛好出現羊，那運氣不錯；如果是車，那麼遊戲就告一段落，你就輸了。如果主持人真是這麼想，那麼3號門後不是車，對你來說確實是一項新資訊，這時車子出現的可能就是1號或2號門其中之一，兩者間沒有特別偏好，主持人並沒有給你換門的好理由，也沒有提供讓你維持原答案的原因。多數賽凡特的反對者都相信在這樣的情形下，機率是均等的，卻全然不知他們已經對主持人的策略作了假設。甚至也根本不知道自己已經作了假設，不過他們都很肯定自己是對的。

不過，如果主持人並沒有玩兒票，而自有另一套規則，他心裡知道

絕不能開啟有車子的那扇門

，因為這會破壞遊戲者作決策的懸疑氣氛，提早結束遊戲，使觀眾失去興趣。主持人想吸引觀眾是很合理的。因此，如果主持人的策略是絕對不去開有車的那扇門，那麼如果你一開始就選對了，他就可以隨他高興開2號門或3號門；如果你一開始就選錯了，那麼他就會開沒有車子的那扇門。因此無論如何，他開的那扇門後一定是隻山羊。

因此不管車子在哪裡，他的舉動都不會影響你最初的選擇，也就是1號門的機率。如果車子不在1號門後，那麼他開的門等於是告訴你大獎的所在，因此有2/3的機會。所以第一次選1號門就選錯了，他等於已經告訴你應該選哪一扇門。如果這是主持人的策略，那賽凡特就是對的，有機會就趕快換，幸運將屬於你。雖然換選未必保證你一定會獲勝，因為你仍有1/3的機率在第一次選擇時就選對了，不過

換種選擇還是使獲勝機率加倍增大了

。

這種情況其實是因為兩方對主持人心理所作的假設不同，因此雙方都有可能是對的。如果主持人開門是隨機的，車子又不在他開啟的那扇門的後面，那麼機率就真的是50：50。如果他早就決定好，在這個階段絕不去開有車的那扇門，那麼他讓你先看3號門後是什麼的同時，你就應該利用這個資訊而換種選擇。

賽凡特的假設是：

主持人的策略是絕不會去開有車的門

（這也是我做遊戲時先預定好的假設）。而反對者的假設是

主持人只是玩玩幾票，隨機地開了門

（假設成這樣，我又做了40輪，發現換和不換隻是相差一次，機率基本均分）。”

變換選擇絕不會吃虧

但最困難、最有趣的問題是：如果一切如前述，你無法知道主持人的策略，也不可能去問。如果細想就知道正確決策跟主持人的心態大大有關，但他不會說出來。於是就只能猜測，愈能猜中主持人的心理就愈能作出換與不換的正確決策，生活不也是這樣的嗎？

理性的決策不應建立在對人心的揣度上

。玩心理戰術有時有用，但也可能弄巧成拙。你當然可以猜測主持人這樣做是為了再給你一次機會；但是同樣可能的是，此人是個為了提高收視率而不擇手段的人，甚至是個心理陰暗的人，他這樣做完全是為了誤導你作出錯誤選擇。事實上，大多數認為“不該換”的人，可能都有這樣的戒備心理。他們可能這樣想：我已經作出了選擇，對不對都只不過是運氣好壞的順題，而一旦我改換了選擇，而又錯了，我就成了被耍弄的傻瓜。

不過有一點很明白，如果不考慮任何心理因素，

決定換絕不會吃虧

，機率至少是一半比一半，根本沒有損失。這也正是許多對策專家傾向於變換選擇的原因。

這裡有一個問題：

“機率”並不一定等於“結果”

。這就好比買彩票，買100張彩票的中獎機率肯定要大於只買1張，但這並不排除相反的結果：那個買100張彩票的什麼也沒中，倒是讓那個只買1張的撿了便宜。說“應該換”，並不是說換的結果一定比不換要好，而是說

獲得好的結果的可能性更大一些

。

說到這裡，我們不得不得出一個無奈的結論：在這些問題上，我們擁有的機率知識確實不能幫助我們找到一個保證正確決策的方法。

機率就是機率，它只是告訴我們得到理想結果的可能性有多大，不會因為你懂得更多而改變。

如果我們不甘心做命運的奴隸，希望找到一些方法增加獲得好結果的機會，也不要和機率過不去（因為它是無法改變的），而應該在機率之外的因素上費些心思。比如在前面的兩個故事中，機率背後的理智和情感，如公主的愛與嫉妒孰輕孰重，主持人是否掌握資訊和他的目的等。

繞了一大圈再回到“美女或老虎”的決策，在競技場上命運多舛的情人由公主指示了右邊的門，他也照做了。那個年輕人如果有一點兒洞察力，他該知道公主（他的情人）的性格傾向，他們的愛情是建立在相互關懷上還是佔有慾上，但是這種事又是不能打保票的。在這種情況下，年輕人聽從公主的指引，其實就是把希望寄託在他們的愛情上，這是有道理的，即使結局並不一定好。事實上，我們所作的多數選擇都冒一些風險，都有失敗的可能，我們所能做的，不過是盡心盡力而已。

前一個文章發表之後，得到了一些熱心網友的關注，其中有一些也表達了對這個“美女或老虎”的故事的看法。有趣的是，男性讀者多數認為出現的是老虎，而女性讀者則正好相反——認為儘管公主並不高興，但還是會救自己的心上人一命。我想在這個問題上，我們應該重視女性的意見——同時也信任女性的善良。