運用函式做影象的一般步驟，作分式函式影象的例項

作函式影象的一般步驟：

1、求函式的定義域；2、考察函式的奇偶性、週期性；3、求函式的某些特殊點，如與兩個座標軸的交點，不連續點，不可導點等；4、確定函式的單調區間，極值點，凸性區間以及拐點；5、考察漸近線；6、畫出函式圖象。

由於老黃最近都在探究作函式影象方面的內容，所以最近的作品開頭都是一模一樣的，都是複習作函式影象的一般步驟，因為這個一般步驟，也是正文的依據。

這次要作影象的是分式函式f（x）=x^3/（2（1+x）^2）。

按函式作圖的一般步驟，作f(x)=x^3/(2(1+x)^2)的影象.

分析：函式在x=-1沒有定義，所以函式的定義域是x≠-1，或（-

∞

，-1）U（-1，+

∞

），兩種表達形式都是允許的。另外，這個函式既沒有奇偶性，也沒有周期性。不過函式過原點，這一點倒是很容易發現的。

求導可得f‘（x）=x^2（3+x）/（2（1+x）^3）=0時，函式有兩個穩定點x=0和x=-3。又f’（x）的符號性質由（3+x）與（1+x）的商決定，所以，在（-

∞

，-3）U（-1，+

∞

），f‘（x）>0，函式單調增；在（-3，-1），f’（x）<0，函式單調減。

由極值第一充分條件可以知道，x=-3是函式的極大值點，極大值f（-3）=-27/8。但x=-1不是函式的極值點，因為函式在x=-1沒有定義。

繼續求二階導數，可得f“（x）=6x/（2（1+x）^4），可見，當x<0時，f”（x）<0，曲線上凸；當x>0時，f“（x）>0，曲線下凸（凹）。且f在x=0連續，所以f有拐點（0，0）。

不要以為不是極值點的駐點就是拐點，錯誤地以為不需要求二階導數，只需要由這個命題，就能確定（0，0）是拐點。首先，不是極值點的駐點未必就是拐點；其次，求二階導數既可以確定函式的凸性區間，也可以檢驗函式是否還有其它拐點。

最後討論漸近線的問題。令最簡分式函式的分母等於0的點，x=-1，就形成曲線的一條豎直的漸近線。注意，這個定理一般只在最簡分式函式才有效。如果分子出現其它函式，比如三角函式，自然對數函式等，x=-1有可能使分子也等於0，又不能把兩個0約掉，就要求趨於-1時，函式的極限了。只有極限是無窮大時，x=-1才是函式的豎直漸近線。

設曲線還有斜的漸近線y=ax+b，則

a=lim（x->

∞

）（f（x）/x）=lim（x->

∞

）（x^2/（2（1+x）^2））=1/2。

b=lim（x->

∞

）（f（x）-ax）=lim（x->

∞

）（（-2x^2-x）/（2（1+x）^2）=-1。

所以曲線有漸近線y=x/2-1。