一般人理解不了，魏爾斯特拉斯聚點定理

你知道魏爾斯特拉斯的聚點定理嗎？它是實數完備性的六大基本定理之一。關於這方面的內容，非常抽象，能理解的人覺得太過簡單，理解不了的人就會覺得像在讀天書一樣。那麼，看完之後，你會有什麼感覺呢？

定理：實軸上的任一有界無限點集S至少有一個聚點.

分析：定理的內容非常簡單，但有時候越是簡單的命題，越是難以證明。

因為S有界，所以存在一個正數M，使得S真包含於［-M，M］的閉區間。如果M不夠大，就取得再大點，總之，一定存在這樣的M就是了。有些人就會糾結這個M到底是什麼，如果一直思考這種問題，那數學就永遠學不好，這個M就是“存在”，反正存在就可以了，你沒必要去深究它是什麼。比如，我說這個世界上一定有一個人比你高，你會一直糾結這個比你高的人到底是誰嗎？只要你走出門去，大街上不

到處

都是比你高的人嗎？

為了描述的方便，把這個閉區間記為［a1，b1］的形式，這是為構造區間套做準備的。實數完備性的六大基本定理需要互相證明。老黃剛介紹完區間套定理不久，這個聚點定理，就準備用區間套定理來證明。

然後把這個區間二等分。那麼就至少有一個半區間上有S的無窮多個點，用［a2，b2］表示。如果兩個半區間都只有S的有限多個點，那麼就與S是無限點集矛盾。如果兩個半區間都有S的無窮多個點，那麼就有至少會有兩個聚點存在，不過我們這裡只要證明至少有一個，所以只要取含有S的無窮多個點的半個區間就可以了。

［a2，b2］真包含於［a1，b1］，而且區間的長度是整個區間的長度的一半，正好等於M。 繼續將半個區間二等分，同理，至少存在一個四分之一區間上含有S的無窮多個點。四分之一區間真包含於半區間，且四分之一區間的長度等於二分之M。

按照這樣的規律無限等分下去，可以得到一個區間序列，它滿足：

除了整個區間之外，其它區間都真包含於上一個區間，且區間的長度等於M/2^（n-2），當n趨於無窮大時，區間的長度趨於0。

即這個區間列是一個區間套。按道理，還要用區間套定理的推論來證明在這個區間套中有S的一個聚點。不過這方面的內容，在《老黃學高數》第216講中，老黃已經證明了，所以老黃就直接給出結論了。即：區間套{［an，bn］}確定S的一個聚點。如果你在理解上有困難，請檢視第216講的內容。

下面我們來做一道例題。

證明：0是[-1,1]的一個聚點。

這個閉區間就是一個有界無限的點集S

證：記an=-1/n, bn=1/n,

則[an,bn][an+1,bn+1],且bn-an=2/n

→0 (n→∞)，

即{[an,bn]}是區間套，

又lim(n→∞)an=lim(n→∞)bn=0,

∴0是S=[-1,1]的一個聚點.

同樣的道理，可以證明這個閉區間上的任意點都是S的聚點，你能自己證明嗎？

假如你是一個擅長抽象思維的人，這方面的知識一定難不住你，只需要對高數的幾個常用概念有所理解就可以了。假如你不善於抽象思維，也沒有關係，透過這個知識的學習，正好鍛鍊一下你的抽象思維能力。