高中數學，函式方程的難題，用這招一分鐘解決，好方法塑造差距
原題
原題：已知函式f（x）=2x/（x－1），x≤0，f（x）=lnx/x，x>0，若關於x的方程（f（x））^2+（1－m）f（x）－m=0有且只有兩個不同的實數根，則實數m的取值範圍是？
A。（1/e，2）
B。（－∞，0）∪（1/e，2）
C。（－∞，－1）∪（－1，0）∪（1/e，2）
D。（－∞，0）∪（1/e，1）∪（1，2）
圖一
這道題雖然是到選擇題，但是卻有一定的難度，不掌握正確的方法，即使是試值的方法也不能選出正確的選項。
那這道題的正確方法到底是什麼呢？
上一節課中我們就說過：“越是抽象的東西越要將其具體化。”具體化的方法就是將函式的大致影象展示出來，即求出函式f（x）的單調性，以及該函式的極限，根據這些就可以得出該函式的大致圖形，然後再分析該函式所在方程（f（x））^2+（1－m）f（x）－m=0，並確保該方程有且有兩個不同的解。
這裡的方程（f（x））^2+（1－m）f（x）－m=0很難看出什麼，這個時候我們要將f（x）暫時看成一個自變數，根據解方程的方法得出函式f（x）的數值，再結合函式f（x）的圖形得出引數m的範圍。
所以該題實際考查的就是該函式的單調性，以及探索函式曲線變化的方法。
求出該函式f（x）的單調性以及極限
⑴當x≤0時，函式f（x）=2x/（x－1），則一次導數為f＇（x）=（2（x－1）－2x）/（x－1）^2=－2/（x－1）^2<0恆成立，所以函式f（x）在區間（－∞，0］是單調遞減的函式。
當x趨近－∞時，limf（x）=lim2［1+1/（x－1）］=2；
當x趨近0－時，linf（x）=0。
所以當函式f(x)在區間(－∞,0］的曲線變化是單調遞減的，且值域範圍為[0,2）.
⑵當x>0時，函式f（x）=lnx/x，則一次導數為f＇（x）=（（lnx）＇x－x＇lnx）/x^2=（1－lnx）/x^2。
令 一次導數為f＇（x）=0，則有x=e。
當0
當x>e時，一次導數f＇（x）<0，此時函式f（x）單調遞減。
所以函式f（x）在區間（0，+∞）上是先增後減的，即當x=e時，函式f（x）取最大值f（e）=1/e。
當x趨近0+時，lnx趨近於負無窮，x趨近0+，則函式f（x）=lnx/x的分母越小，所以此時函式f（x）趨近－∞；
圖二
當x趨近+∞是，根據對數lnx的影象可知，lnx隨著x不斷增大lnx趨於平穩，所以函式f（x）=lnx/x的分母增大的快，即此時函式f（x）趨近於0。
所以函式f(x)在區間（0，+∞）上是先增後減，且x趨近0+時，函式f(x)的極限值為負無窮，當x趨近正無窮時，函式f(x)的趨近於0.
根據函式曲線變化得出函式f（x）的大致圖形為：
圖三
得出函式f（x）的大致影象後我們就可以看該函式所在的方程了。
根據函式有且有兩個不同的解得出m的範圍
因為該函式所在的方程為（f（x））^2+（1－m）f（x）－m=0，設f（x）=t，則該方程變為t^2+（1－m）t－m=0，對該方程進行因式分解得到（t+1）（t－m）=0，則t=－1或者t=m，即f（x）=－1或者f（x）=m。
這時候可以將f（x）=－1或者f（x）=m看成函式f（x）和直線y=－1、直線y=m有且只有兩個交點的問題。
根據圖三所示，當f（x）=－1時，x所對應的是一個解，因為該題的已知中說要滿足函式f（x）有且只有兩個不同的解，所以此時m一定不等於－1，且f（x）=m時，x也存在一個解，所以根據圖三所示m的範圍為（－∞，－1）∪（－1，0）∪（1/e，2）。
所以正確的選項為C。
總結
該題看似很難，但是一旦根據函式的單調性和該函式的極限值畫出圖形後，答案就清晰可見了，所以在做題的過程中要找對方法，這類題的關鍵在於對函式f（x）的不瞭解，入手點在於根據函式的單調性以及函式的極限得出該函式的大致圖形。
很多題難就難在對函式不瞭解上面，所以越是這樣我們就要根據我們所學的知識來了解該函式變化。
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