數學魔術：非常漂亮的近似

這個很漂亮的無理數 e 的近似表達，它恰好用到了 1 到 9 的所有數字。

你可以猜猜看，它可以精確到 e 的小數點後的多少位？ 10 位？ 100 位？ 1000 位？ 10000 位？

遠比想象中的牛 B —— 它能精確到小數點後 61，315，266，887，768，832，673，579，363 位（誤差為：–2。01E–18457734525360901453873570）！

顯然，這絕對不是一個巧合。它的秘密就在於，e 事實上等於 lim（n→∞） （1 + 1/n）^n ，而 9^（4^（7·6）） 恰好就等於 3^（2^85） 。這個指數相當大

如下圖：有自然數1，2，3，4，5，6，7，8，9得到的有趣結論

我們來看看是怎麼計算的x=3^（-2^85），則 logx=-2^85*log3=-18457734525360901453873569。8283816056613792345736

所以，x=10^-0。8283816057*10^-18457734525360901453873569

=0。1484630555*10^-18457734525360901453873569

ln（1+x）=x-1/2x^2+1/3x^3-1/4x^4……

所以，當x很小時，

（1+x）^（1/x） 約等於 e^（1-x/2+x^2/3-x^3/4+……）

即是

e-e*x/2+11ex^2/24-…… 其中，x=3^（-2^85）

故誤差

=2。0178221298164922*10^-18457734525360901453873570