漫談學數學
筆者是個數學迷，沒日沒夜沉迷在數學的世界裡。但我學數學的目的不是為了升官發財，因為我知道這一切都不會與我有任何關係，所以最感興趣的反而是數學是怎樣被創造出來的部分。
隨著書越讀越多，我發現教科書以傳授（部分）數學成果為主，教科書以外的數學類圖書則以
“講故事”居多，至於這些數學是怎樣被創造出來的，大概都留在數學家們的草稿上或埋藏在他們的思想裡。
我曾對比過大量數學成果，試圖找出它們的相同或相似之處，最後得出的結論是：數學家們都希望用很簡單的原理儘可能多地推匯出新結論。
比如，歐幾里得的《幾何原本》僅用了
5
個公設和公理，就推證出
467
個命題，不但條理清晰，且結構嚴謹，洋洋灑灑
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卷構成一套十分完整的公理化體系。
由於《幾何原本》至今魅力不減，無數人都曾對它做過深入研究，諸多研究發現，歐幾里得的本意志在推匯出所有的（平面）幾何定理，只是因為種種原因止於
467
個命題。
後來，
羅巴切夫斯基又將第
5公設等價成“過平面上直線外一點，至少可以引兩條直線與已知直線不相交”，然後與其餘公設一起，依照歐幾里得的推證方法，重新構建了一套與
歐氏幾何完全不同的非歐幾何體系。
黎曼認為，畢達哥拉斯定理雖然在非歐幾何裡不再成立，但在無窮小的情形下依然是對的，於是以此為基礎，在彎曲空間裡又發展出一套曲面幾何體系。
笛卡兒則建立座標系以
（x，y）一對陣列來描述一個點，並以此為出發，發展出來的解析幾何將代數與幾何結合了起來，既可以用代數的方法來表達幾何圖形，也可以將幾何圖形表達為代數形式，堪稱偉大創舉。
而牛頓集前人成果之大成，將曲線上的過點切線與函式聯絡起來推演出導數新概念，最後又將微分與積分聯絡起來成就了微積分，可以用來解釋各種複雜圖形，從此處理複雜現象與問題的大門被開啟。
……
其實，
類似的事例還有很多，說也說不完。但眾多事實告訴我們，許多重大數學成果都是由一些極簡單的原理髮展起來的，諸如
歐幾里得僅用了
5
個公設和公理就構建起平面幾何體系，
羅巴切夫斯基將第
5公設等價並“依樣畫葫蘆”
構建起非歐幾何體系，黎曼以無窮小圖形作為基礎構建起曲面幾何，笛卡兒以座標系描述一個點發展出解析幾何，牛頓以過點切線發展出微積分等等，無不為我們揭示了這個道理。
再說費馬曾對光的傳播做過深入研究，最終得出
“最小作用原理”，被廣泛認為可以用來推導幾何乃至物理定律的有力工具與方法。
科學史一直在告訴我們，只要方法得當，效果可能會大到你難以想象的程度，一如阿基米德之豪言
——“給我一個支點，我就能撬起整個地球。”
……
諸位，以上這些看似毫不相關的觀點與事例，其實都有一個共同點，那就是由簡單到複雜，而不斷運用和不斷放大簡單原理正是數學家們無往不利的法寶。
那麼，作為一個普通人，我們又該怎樣學數學呢？
丘成桐曾在一次訪談節目中，有個學生問學數學有沒有捷徑，他回答說：
“我們不要想象做個題目就是為了解決這個題目，要想象做這個題目能夠了解數學本身
……
這是主要的精神。”他認為，學數學如果只是為了做題為了分數，那就是走錯了方向。
相傳，
“數學王子”高斯在研究問題時，為了深入瞭解數學，常常會採用各種各樣的辦法，直到窮盡為止。也許這就是鑽研的精神。
而在我的記憶中，老師曾教導著說，學數學不但要勤奮，還要有一定的想象力，數學的美就埋藏在別人看不見的地方。可是我偏偏就是個沒有任何天賦的人，那怎麼辦呢？有一回，我一咬牙花了數個月的寫作收入買回一套數學工具書，始覺數學的總量已經壯觀到難以相像的程度，但書裡的數學知識應有盡有。
我時常想，既然如今的數學總量已經達到如此壯觀的程度，也許總有一些前人沒有窮盡之處，裡面可能就埋藏著一些機會；退一萬步說，即使每一項數學都已經被前人窮盡，我們還可以將各項數學嘗試聯絡起來，就像牛頓將過點切線與函式聯絡起來推演出導數一樣，就像諸多
“等價”與“變換”一樣。
著名的數學家傅立葉堪稱
“變換”大師，以“傅立葉變換”聞名於世，他
曾說
“數學和大自然走著相同的軌道，且具有相同的簡潔與穩定性
……
”並認為“
數學分析可以用來決定最一般的規律
”。
所謂的
“最一般的規律”，也就是放諸四海而皆準的簡單原理，如果我們能夠找到這些簡單原理，理論上就可以參照
歐幾里得以及其它數學家們的方法，用很簡單的原理推匯出儘可能多的新結論，就有可能成就創新成果。
我認為，也許我們不必苦心尋覓，已有的海量數學原理裡面或總有一些前人不曾到達的地方，裡面很可能就埋藏著不少機會。數學史告訴我們，“等價”與“變換”是最容易出創新成果的辦法（之一），由於世界本來就存在著千絲萬縷的聯絡，也許我們可以嘗試將已有的海量數學原理進行各種各樣的匹配與聯絡，我相信可以用現在的數學語言表達為——對於任給（
）一個原理，或總能找到（
）另一個原理，使得它們之間產生某種聯絡，就有可能達成創新。那麼，如此這般，我們學數學的意義就大了。
編撰：然好
END
