從微分方程中看天體運動，數學是宇宙的詩歌
本篇文章主題：量子力學之路（2）——開普勒與牛頓，從微分方程中看天體運動
量子力學之路——堅實的數理基礎至關重要，沒有捷徑可走
這篇文章將比一般文章更長，因為我要建立牛頓力學和天體力學
。我要提前提醒你們，這個推導過程會很繁瑣，但不會跳過重要步驟，並且在邏輯上儘可能地少一些不直觀的跳躍。
本系列將對物理學中的重要概念進行大量解釋。不幸的是，要找到幫助我寫本系列文章的資源很困難。某些主題和推導的基本步驟在大多數資源中被省略，特別是在經典力學中。
自我檢查一下，是否能理解或解決一下的幾個問題：
1、開普勒第三定律
利用橢圓面積的公式和開普勒第二定律的形式來推導開普勒第三定律。需要解出
角動量
，
萬有引力常數
，
太陽的質量
，
物體的質量
，
偏心率
，角動量的長半軸方程。
2、正圓
找出軌道為正圓的條件。換句話說，使ρ為常數。
3、
多體和質心
假設有N個相互作用的物體遵循牛頓運動定律。表明質心以恆定速度運動。
4、齊奧爾科夫斯基火箭方程
假設在太空中有一枚火箭，附近沒有任何東西，也沒有空氣阻力。它透過在尾端排放恆定速度（ve）的尾氣來運動。如果開始的質量是M，結束的質量是m，
求出總的速度變化量。
你可以假設火箭不會轉動，但要注意動量必須守恆而且火箭的質量隨時間變化。
天體力學
自古以來，人們就一直在研究恆星。對古代的天文學家來說，大多數恆星並沒有相對運動。
而且古代的天文學家相信地心說，他們能夠提出公式，以合理的準確性預測天體的路徑。這個公式後來被證明是一個早期的傅立葉級數的例子。
這些複雜的公式與資料吻合得很好，但沒有任何解釋。然後是尼古拉·哥白尼，他提出了日心說模型。他的模型在概念上比托勒密的模型簡單。這是朝著正確方向邁出的第一步。在仔細研究了這些資料之後，約翰內斯·開普勒提出了他的開普勒行星運動定律：
每顆行星的軌道都是一個橢圓，太陽是橢圓的兩個焦點之一。
在相等的時間間隔內，連線行星和太陽的線掃過的面積相等。
一個物體的軌道週期的平方與其軌道長半軸的立方的比率是相同的所有物體圍繞同一主軌道執行。
艾薩克·牛頓
根據開普勒定律，我們知道行星是怎麼運動的，但不知道為什麼會這麼運動。這需要幾位科學家的努力，最著名的是艾薩克·牛頓，提出了一個完整的解釋。在開普勒之後的幾十年，牛頓發表了他的《自然哲學的數學原理》（簡稱《原理》），其中有三個基本的命題：
牛頓的三大運動定律。
地球上的物理定律可以應用於天體。
重力是一種引力，作用於所有質量之間，與物體的質量成正比，與物體之間距離的平方成反比。
根據這三個命題，牛頓能夠解釋開普勒定律和許多其他物理學上的其他問題。
動量
現在我們已經瞭解了一些歷史資訊，讓我們來看看
動量
。在經典力學中，動量是一個
向量
，等於物體的質量乘以它的速度。牛頓的三個運動定律都是關於動量的表述。
牛頓三大運動定律
運動中的物體將保持運動狀態，除非受到外力的作用。
力是動量的時間導數。
每一個力都有一個大小相等、方向相反的反作用力。
第一定律說，一個不與其他物體相互作用的物體將有一個恆定的動量，因此有一個恆定的速度。第二定律定義了力如何改變物體的動量。它比第一定律更普遍，但牛頓明確指出，第一定律是對亞里士多德物理學的直接回應。最後一個定律保證瞭如果兩個物體相互作用，那麼它們動量的總和將是守恆的，即使它們各自的動量可能不守恆。
牛頓萬有引力定律
這是一個很好的公式，但它缺乏座標資訊和方向。我們可以把牛頓的萬有引力定律寫成
其中F_21是第一個物體對第二個物體的作用力，G是常量，m_1和m_2是兩個物體的質量，
s_1
和
s_2
是兩個物體的位置，|
s_1- s_2
|是兩個物體之間的距離。從數學上講，
s_1- s_2
表示從第二個物體的位置到第一個物體的向量，向量的大小用絕對值表示。
這個表示式看起來很奇怪，因為分母是距離的3次方。
但是分子式中的
s_1- s_2
也是距離單位。對於作用在一個物體上的總力，我們可以把每一個物體對第一個物體施加的力加起來。
推導開普勒定律
用牛頓力學和牛頓萬有引力定律來推導開普勒定律。要做到這一點，我們需要找出運動方程，這是一組
s_1- s_2
的微分方程。在牛頓力學中，要找運動方程需要
找出所有作用在物體上的力，
求出座標系中的加速度，
把第一步中的力寫成系統中每個物體的位置和速度的函式，
讓置步驟2和步驟3的結果相等，
匹配基向量的係數。
這樣，你以得到每個物體的三個微分方程（
如果考慮到力矩，還可以得到一些額外的方程
）。
s_1- s_2
讓我們從太陽系中的任意一個天體開始。根據牛頓萬有引力定律，有
如果代入一些數字，會發現可以忽略除太陽以外的所有項。例如，太陽對地球施加的力是月球對地球施加的力的177倍。木星對土星施加的力，是除太陽以外的任何兩個物體之間最強的力，它只佔土星和太陽之間力的0。5%左右。
只要考慮太陽對任意物體施加的力
根據牛頓第二定律，有
假設物體的質量是恆定的
描述物體如何作為時間的函式運動
至此，我們已經知道了運動方程，但還
可以做
一些簡化。首先，注意到太陽比太陽系中任何其他物體的質量都大得多。根據牛頓第三定律，儘管兩個物體受到的力是相同的，但太陽的移動要比其它物體小得多。這樣，我們可以將座標系統的原點設定在太陽的中心，這意味著太陽的位置是
步驟1：尋找力
：
如果用笛卡爾基向量寫出物體的位置，有
初步的簡化
我們要讓其中一個座標為零。假設z = 0。根據上面的方程，物體在z方向上不會受到任何力，因此也不會有加速度。如果z方向的速度也是0，那麼z將保持為0。
我們總是可以選擇座標軸，使z方向上的位置和速度總是為零（
讓
z軸垂直於初始速度和初始位置
）。為了做到這一點，我們使用
零向量
，得到一個垂直於另外兩個三維向量的三維向量。
兩個向量的
角動量
的長度與這兩個向量的長度以及它們之間夾角的正弦有關。
如果我們取物體的位置向量和速度向量的
向量積（外積、叉積）
，然後把結果乘以質量，就得到了
向量積
，它有類似於動量的性質，但是是圍繞著一個點旋轉而不是平移。我們稍後會看到，開普勒第二定律是角動量守恆的結果。現在，我們要用它來定義
向量積
。
角動量
因為z將保持為0，並且我們在處理一個旋轉的問題，使用柱座標再合適不過了。清楚起見，我們仍然需要在柱座標中定義x軸和y軸，但不會被涉及到它們的計算中。因為我們選擇了柱座標，位置被定義為
你可以透過在笛卡爾座標系中展開來驗證。
求位置的二階時間導數，有
因為是柱座標，因此ρ和φ基向量不是常量，這意味著我們也要對它們求時間導數。
z基向量
在任何
步驟2：在柱座標中尋找加速度
中，必須引入加速度項（慣性力）來抵消座標系的加速度。在我們的例子中，有兩個慣性力：
離心加速度
科氏加速度
慣性力
慣性力也被稱為虛力，因為這些力與物體之間正常的相互作用無關。
舉個例子，離太陽系最近的恆星大約在4光年之外。如果定義我們的座標系統與地球一起旋轉，那麼這顆恆星將以大約10000倍的光速運動，並具有相同量級的恆定加速度。即使不考慮相對論，這個結果也是荒謬的（與任何物體都沒有物理上的相互作用，卻有巨大的速度和加速度）。
但如果我們讓x軸從地球指向恆星，恆星就不會移動，也不會有加速度。
話雖如此，我並不喜歡“虛力”這個名字，因為它會讓人產生一種錯誤的印象，認為它們不能代表真實的東西。例如，當汽車加速時，一個
加速的座標系
會把你推向座位上，所以它並不總是“虛”的。
慣性力是非慣性參照系的產物，它們出現在了加速度項中。所有的慣性力
都與
物體的質量成正比。
虛力
我們已經把質量和引力分開了，所以只需考慮加速度。我們必須把重力加速度轉換成柱座標
虛力
現在可以找出具有相同基向量的項，這可以幫助我們將它們與柱座標下牛頓引力進行比較
這個結果給出了兩個運動方程。第三個運動方程是z（t） = 0。
步驟3：在柱座標中寫出引力
根據一階微分方程的知識，我猜這個方程是兩個函式乘積的時間導數。我們從標準乘積法則開始
在這種情況下，可以讓g（t） = φ ‘ （t）。為了讓它成立，我們需要將方程乘以某個函式μ（t）
解出這個方程
函式μ（t）被稱為積分因子。如果你不知道，我建議你開始學習微分方程
微分方程第一步，吃透基本概念——複數，多項式方程及矩陣理論
。把所有東西都代進去
這意味著f（t） g（t） = ρ^2φ ’。我們試著對ρ^2φ ‘求導
這個結果似乎是成立的，我們已經將方程簡化到可以對兩邊積分的程度
步驟4和步驟5：設力的兩個定義相等，並比較基向量
求解微分方程，首先要
猜測解的形式，看看能不能解出來。如果不能，再另一種形式。令人惱火的是，許多關於微分方程的課程（資源）只給出了可行的猜測，這就給人制造了一種錯覺，以為某些作者（編者）一下知道了解的形式。現實中，他們嘗試了各種形式的函式，直到得出正確的解。
角運動方程
我們要加一個常數，但應該加什麼常數呢？在本文的前面，我提到了角動量，但沒有計算它。現在計算它，得到
角動量等於質量乘以ρ^2φ ’（
在z方向上
）。因此，C=L/m。此外，角方程還可以幫助我們解
你怎麼知道它是一個乘積的時間導數的？
要清楚的是，我們還沒有解出角方程，但是我們可以用它來去掉徑向方程中的一些煩人的因素。
角動量守恆
在討論徑向方程之前，我們先來推導一下開普勒第二定律。我們知道函式ρ（φ）在兩個角度φ_1和φ_2之間的面積是
讓τ表示它達到φ_1和達到φ_的時間間隔。如果我們做u代換，有
從角方程，我們知道ρ^2φ ‘ = L/m，所以可以把它代入積分
注意，除了從一個角度到另一個角度所需的時間是τ外，我們沒有對這兩個角度做任何說明，這就證明了開普勒第二定律。
徑向方程
把角方程的解代入得到
這個方程和
開普勒第二定律
很相似。非線性項的二階導數會引入無法抵消的項。為了解決這個問題，我們將放棄尋找ρ（t）和φ（t）的封閉解，而嘗試尋找它所走的路徑，ρ（φ）。
徑向方程
為了強調這一區別，我們可以考慮一些以不同方式在賽道上前進的人：
開賽車，
騎腳踏車，
步行，
在賽道上走了一半，然後轉身，
所有這些都可以有不同的ρ（t）和φ（t），但它們都有相同的ρ（φ）。同樣地，只要知道ρ（φ），太陽系中的行星和其他天體就有可能以隨機的速度運動，旋轉，甚至是瞬移，只要它們一直在軌道上。為了確定行星的運動方式，我們還需要φ（t），這可以從角方程中得到，目前還沒有解出來。
伯努利微分方程
在伯努利方程中，我們會猜想ρ（t）是α（t）的冪
如果求一階導數
這個表示式看起來沒什麼問題，我們來求二階導數
正如你所看到的，有一個導數的平方，它阻止了我們求出閉合解。我們還沒有設n的值，所以看看是否可以將它設為某個值，以去掉平方導數。如果n = 0或n = 1，就可以消去平方導數，但也會把有用的東西消去。我們注意到平方導數來自於一階導數中的α項，所以看看能不能去掉它。我們用鏈式法則把dα/dt寫成（dα/dφ） （dφ/dt）。從角方程，我們知道dφ/dt = L/（m ρ^2），從α的定義，有
為了消去α項，需要- n - 1 = 0，也就是n = - 1，這就得到
現在，我們可以求二階導數
我們用了和上面一樣的技巧，把所有東西都寫成φ的形式。把這個方程和α的定義代入徑向方程，得到
該微分方程是一個標準的二階線性微分方程，我們可以用多種方法求解。這篇文章已經很長了，我們直接寫出解
追蹤路徑vs.位置的時間函式
前面提到過，在得到解之前，x軸和y軸並不參與計算，我選擇它們使sin項消失而cos項保留。這樣，我得到了α（φ）的一個更簡單的方程
我們要找的不是α（φ）而是ρ（φ），根據α的定義，有
可以把它提出來，得到一個焦點在原點的圓錐曲線的標準形式。
圓錐曲線是透過切割圓錐得到的形狀
圓（
ε
= 0
）
橢圓（
0 < ε < 1
）
拋物線（
ε = 1
）
雙曲線（
ε > 1
）
特別值得注意的是橢圓。請注意，拋物線和雙曲線都將走向無窮遠，所以任何沿著拋物線或雙曲線軌道執行的物體都不會留在太陽系中。然而，這些行星仍然存在於太陽系中，這意味著它們要麼是圓形，要麼是橢圓形。因為圓只能在ε的一個值出現，所以幾乎肯定會得到一個有界軌道的橢圓。換句話說，我們已經證明了開普勒第一定律。
伯努利方程
我們可以把ρ（φ）代入角方程得到
這個方程的解至少需要，
選擇座標軸
。你不會從這個方程中得到一個封閉的解。
位置作為時間函式的閉合解
現在，我們來計算一些關於軌道的事實。我們想知道一些有用的資訊，比如兩個物體之間軌道的最遠點和最近點。我可以看到最大值和最小值出現在
橢圓積分
對於橢圓軌道，我們也可以計算半長軸和半短軸，你可以把它們想象成橢圓的兩個半徑。
從這些軸，我們可以用一個簡單的公式來計算橢圓的面積：
在偏心率為0的極限情況下，得到了一個圓。
軌道的特點
太陽靜止的假設導致動量守恆的一些問題。繞軌道執行的物體會改變它的速度，而“太陽是靜止的”，這就意味著動量不守恆。為了保證動量守恆，我們需要太陽移動。如果我們從距離向量q = s_1- s_2開始，求它的二階時間導數，有
從這一點開始，M和m是兩個物體的質量。從第三行到第四行，使用了牛頓第三定律。
這和開始時的方程大致相同，但是減少了質量μ。我們也可以看看總動量如何隨時間變化，
根據牛頓第三定律，它是守恆的。如果我們定義空間中的一個新點
會發現
我們稱Q為質心。一組沒有外力的物體的質心將以恆定的速度運動。我們可以透過解線性方程組，找到用這兩個新量表示的原始軌跡。
半長軸和半短軸
現在我們已經建立了牛頓力學，而且可以用牛頓力學解決經典力學中的任何問題。不幸的是，牛頓力學有一些問題。
找到守恆量會使問題變得容易得多。幸運的是，我們發現角動量是守恆的。
我們必須計算基向量的時間導數。
在解決問題之前，我們必須知道所有的力，這可能很困難。
試圖在其他座標系中重寫運動方程是很困難的。
牛頓力學需要大量的幾何理解。
牛頓力學不能很好處理的經典問題是，珠子（球珠）只能沿著彎曲成某種形狀的金屬線移動。應該只有一個運動方程來表示珠子沿著導線應該移動多遠。在牛頓力學中，系統中每個物體都有三個運動方程。此外，你還必須考慮線對珠子施加的力，以保證它在電線上，這是一個複雜的問題。你可能甚至不能把力寫成一個封閉的形式。有這些約束力的系統隨處可見，所以我們不能忽略它們。為了解決這些問題，我們需要一些
動量守恆
我們已經討論了經典力學
在接下來的幾篇文章中。我們將跳出力和向量框架，轉而關注能量和標量（新的框架），從不同種類的勢能和描述它們的偏微分方程開始。
