中考數壓軸題之費馬點模型

這期這道題並不是中考真題，我也沒找到是哪裡的模考題，但是不影響這道題的重要性，這種型別的題目，同學們如果做過總結，會發現很簡單，如果不做總結，考試時間都給你想你也想不出來，下面我們就來看看這道題吧

第一問，求∠A+∠C的度數，這個很簡單，就是270°。

第二問讓我們連線BD，探究一下三條邊之間的關係

這關係看不出來，我們可以

拿尺子量一下

，發現不是加和關係，那麼考慮勾股定理關係，發現就是它。這裡要注意一下，有的題目會讓我們猜測關係，但是關係往往不是那麼容易看出來的，所以我們有必要藉助一些工具，比如刻度尺，量角器這些來進行輔助猜測。

既然判斷出是勾股定理關係，那麼我們該怎麼證明呢？

首先想到是要把它們放到一個三角形當中去，可是這個三角形在哪裡呢？

這邊就需要同學們積累一下了，遇到這種

邊相等，且存在勾股定理關係

的，我們要想到

旋轉

。

我們將紅色的三角形繞點B順時針旋轉60°到藍色的三角形的位置，因為BA=BC，所以旋轉過來剛好能重合，

我去居然這麼巧

！

其實就是因為相等才想到旋轉的，這種技巧需要大家記憶，否則你考試很難考自己想出來的

。

之後我們就發現，AD=CD’，BD=BD’，可是好像還是沒有把這三條邊放到一個三角形當中去，不急，我們還要連線DD’，這樣△BDD’就是等邊三角形，

怎麼突然它就是等邊三角形了

？因為我旋轉了60°，而且BD=BD’，所以它自然是等邊三角形。那麼後面就簡單了，BD與DD’是相等的，所以三條邊都轉化到了△CDD’當中，那麼問題就轉化為證明∠DCD’=90°了。

根據第一問，我們知道∠A+∠C=270°，而∠A經過旋轉應該等於∠BCD’。所以用周角360°減去270°，就得到∠DCD’=90°，此題得解。

第三問

有一點E在四邊形內部運動，然後滿足一個勾股關係，讓我們求出E的路徑長度。我相信大部分同學讀到這道題內心已經放棄了，這都是什麼玩意兒內部運動？路徑長度？怎麼動我都不知道，還求路徑，還要找直角三角形，太難了！！確實，這道題很難，但是難者不會，會者不難。做好積累很重要。

這道題第二問和第三問其實都類屬於

費馬點模型

嗯，數學家都搬出來了，知道這道題為啥那麼難了吧

不同的是費馬點是旋轉後要拉成直線，這種問題是要放到一個三角形當中去

。

費馬點問題解決的關鍵就在於

旋轉，你說這種旋轉輔助線怎麼可能不做積累你就能想到呢

？

回到這道題，我們怎麼旋轉呢？

在解決這個問題之前，我們還要解決一個小問題，題目說點E是在四邊形內部的，其實點E是在△ABC內部的

因為如果點E在△ABC外部，那麼BE就是最長邊，顯然不能滿足題目所給的等式，題目給的等式要求我們AE是最長邊。之後，開始旋轉

將

褐色三角形

旋轉60°到變為

綠色三角形

，並且連線EE’，同樣的方法能證明△BEE’是等邊三角形，這樣我們要求的三條邊又都放到了△EE’C當中去了，根據題意，三邊滿足勾股關係，因此△EE’C為直角三角形

非常高興，領悟到了出題人的意思，但是接下來，又傻眼了，這點E的軌跡又是啥

？

先捋一捋，我們現在知道了∠E’EC=90°，再觀察一下，發現，∠BEE’=60°，原因是等邊三角形，這樣就有線索了，∠BEC恆等於150°，到這就要想到圓周角了。

這就是

定弦定角的隱圓

模型了，當我們知道一條定長線段，且有一個點與線段組成的角是固定的，我們就要立馬想到，

所有的點是在一個圓弧

上的

因此點E一定在一個圓上面，我們只要把這個圓的圓心找出來就行了。

我們知道∠BEC恆等於150°，因此∠F=30°這邊是用

圓的內接四邊形定理

，那麼圓心角BC’C=60°，所以△BCC’是等邊三角形，所以BC=BC’=1，圓C’的半徑為1，且點E在弧BC上運動，自然能求出軌跡長度為π/3，這道題就解完了。

下面開始進行技術總結

1.要能認出是費馬點模型，並且記住旋轉這個輔助線的作法，如果臨場想不到，這類題目幾乎無可能做出來

2.學會用工具去輔助判斷題目的猜想，別隻是盯著看

3.定弦定角的隱圓模型要熟悉，平時多去訓練，保證考場上第一時間想到