數學中的“拓撲”到底是什麼？
“拓撲”
是我們常常會聽見一個數學名詞，乍聽起來，它好像是一個很“玄”的東西，但實際上它並不神秘，“拓撲”已經成為一種再基本不過的數學結構和數學語言，沒有這樣的基本結構，就不可能有今天的數學。那麼，“拓撲”到底是一種怎樣的數學概念呢？
拓撲結構
從定義上來說，拓撲是賦予在集合上的數學結構，在滿足規定的三條公理後，這個集合連同這個結構就成為一個
拓撲空間
，這個結構就被稱為“拓撲”。也就是說，“拓撲”是人為規定出來的一種結構，它的基本組成元素是所謂的
“開集”
。可以看到，這樣原始的拓撲是非常寬鬆的，它並沒有給集合太強的約束，在這種情況下，集合上的拓撲結構往往非常多，其中最簡單的拓撲由兩個元素組成，也就是空集和集合本身，這種拓撲稱為
“最粗”
的拓撲，相對的，就有
“最細”
的拓撲，它由集合的所有子集組成。顯而易見的是，這兩種拓撲都是滿足拓撲公理的。
歐式空間是我們非常熟悉的空間，它帶有一個普通的歐式距離結構，這種距離也就是平常我們所接觸的空間距離。歐式空間這樣重要的空間顯然應該成為一個拓撲空間，那麼它的拓撲結構是怎麼樣的呢？對於距離空間而言，它擁有一個由距離所誘匯出來的拓撲結構，以一維歐式空間直線為例，它在距離拓撲下的開集就是開區間，閉集就是閉區間，這樣的拓撲對於距離空間而言是非常自然的，它常常被稱為
距離拓撲
。
對於一個集合來說，如果它沒有任何附加的結構，那麼就很難在上面進行數學操作，因為這樣的集合太鬆散了，以至於幾乎無法討論。所以我們需要對集合賦予結構，也就是加上一些約束條件，使得它可以成為數學活動的舞臺，而拓撲就是這樣一種基本的結構。除了拓撲之外，當然還有其他許多重要數學結構，例如
群結構
，對集合規定運算並使得元素滿足一些條件後，它就成為了一個群。
給定一個拓撲空間後，我們就要研究它的性質，因而有了
緊集，稠密性，連通性
等概念。而僅僅研究一個拓撲空間顯然是不夠的，有了不同的拓撲空間之後，首先關心的問題是它們有什麼區別。
拓撲學這門學科所關注的是空間在連續變化下保持不變的性質
，也就是所謂的
拓撲不變數
，在這種情況下，我們不再關心空間的具體形狀，如果一個空間可以由另一個空間連續變化而來，那麼應該將它們視為同一個東西，這也就是
“同胚”
的概念，典型的例子就是咖啡杯可以連續變化為類似於甜甜圈的圓環。
而著名的龐加萊猜想就是單連通閉三維流形的同胚分類問題。
在學習微積分時，我們都知道函式的連續性是由“
δ-ε”語言
所嚴格定義的，但實際上，它完全被包含在了拓撲範圍內。兩個拓撲空間之間對映的連續性被定義為：
如果開集的原像為開集，那麼對映連續
。可以看到，“δ-ε”語言完全就是這種拓撲語言的特例，而微積分所關心的不過是歐式空間而已。有了拓撲之後，我們所能研究的空間範圍就大大地擴充套件了，例如函式本身也能構成拓撲空間，這些空間就成為了
泛函分析
的研究物件。
說了這麼多，“拓撲”可能看起來還是很抽象，但從本質來看，“拓撲”的本質仍然在幾何的範疇之內，但與傳統的幾何不同，“拓撲”將空間實體抽象成為了沒有形狀和大小的“點”，從而極大地拓展了“空間”這個概念。
拓撲學
最後我們再來看看“拓撲學”這門數學學科。拓撲是
Topology
的音譯，它原本的意思是地形地貌，後來被賦予了
“位置分析”
的內涵。最早提出“位置分析”這種數學思想的是萊布尼茨，而拓撲學的真正起源恐怕要追溯到尤拉關於著名的“七橋問題”的研究。
拓撲學發展到今天，形成了
點集拓撲學
和
代數拓撲學
兩大分支，前者又稱一般拓撲學，它來源於
康託
關於集合論的工作，在
弗雷歇
和
豪斯多夫
給出了許多嚴格定義的概念以後，公理化的一般拓撲學才正式得以發展，這樣的數學思想在
波蘭學派
關於泛函分析和
蘇聯學派
關於函式空間的工作中得以發揚光大，後來法國布林巴基學派進一步擴充了這一領域的內容，基本形成了今天點集拓撲學的面貌，許多經典的數學內容利用拓撲重新解釋以後變得更加清晰。
而代數拓撲學的創始人則是偉大的
龐加萊
，他創造性地將代數學的方法引進了拓撲學的研究中。來自拓撲本身的方法是非常稀少的，所以利用強有力的代數方法來研究拓撲是勢在必行的。龐加萊定義瞭如今被稱為同調群和基本群的基本代數拓撲不變數，而後隨著數學發展，代數拓撲逐漸分成了
“同倫論”
和
“同調論”
兩大分支。簡單來說，
拓撲空間之間的對映是同倫的當且僅當其中一個可以連續變化為另一個
，更進一步，對映的同倫關係實際上是
等價關係
，這些對映於是就被分為了不同的等價類。研究拓撲空間和對映的同倫分類就是同倫論的基本內容，它的基本代數工具是
同倫群
，而例如著名的龐加萊猜想，它本質上就是同倫論中的一個難題。
從目的上來說，
同調論
同樣是要構造拓撲不變數，但同調所描述的關係就沒有同倫那樣強烈的幾何直觀意義，但好處在於擺脫過多的幾何直觀後，可以更加完全地利用代數方法。而且從當今的研究來看，同調論幾乎佔據了主導地位，其中一個原因可能在於一般情況下同調群比同倫群更容易計算，也就更容易獲得拓撲空間的性質。
最後說一下
微分拓撲
，有些時候它被稱為是拓撲學的第三個分支，但從本質來說，它的方法並沒有超出同倫論和同調論的範圍，只不過它的研究物件更加特殊。拓撲空間本身非常一般，所以為了更好地適用於某些情況，還要加上一些限制，
微分結構
就是其中一種，加上這種結構後，拓撲空間就成為了
“微分流形”
，這就是微分拓撲的研究物件，同樣地，微分拓撲的目的仍然是尋找拓撲不變數，不過這裡是在微分同胚下的不變數。例如黎曼幾何，它研究的就是
黎曼流形
，也即帶有黎曼度量的微分流形，這實際上就是傳統的歐式幾何的推廣，在歐式幾何裡，那個流形就是歐式空間，度量就是普通的歐式度量。
以上大概就是拓撲結構和拓撲學這門學科的大概含義，當然，這裡是非常淺顯的概述，“拓撲”一詞背後的含義實際上是非常豐富和深刻的。
