為什麼我們非得去找代數方程的整數解？
2019年，被科幻迷奉為經典的宇宙終極答案“42”，終於迎來了它的立方和方程解，即方程x^3+y^3+z^3=42的解。當時數學家利用了全世界50萬臺計算機並行運算了幾個月終於找到了答案，後來他們投入到了3的第三組解上。如今，新的答案也已出現。但這就是數學遊戲嗎？近2000年前古希臘數學家提出的問題，今天我們的數學家在為之努力什麼呢？
撰文 | 張和持
離x^3+y^3+z^3=42告破僅一年多，數學家們又在前些日子找到了 x^3+y^3+z^3=3 新的一組整數解。後者的前兩個解頗為簡單：
1^3+1^3+1^3=3
4^3+4^3+（-5）^3=3
但數十年來，第三組解遲遲沒有被找到。其實我們並不是那麼關心這個解究竟是多少。如果單單看這個等式，我們除了感受它的壯麗以外，並不能比沒有計算機的古希臘人理解得更多（公式左滑顯示）：
我可以斷言，這個式子目前對數論學家而言幾乎沒有意義。我們能得出結果，只是因為演算法效率變高了，計算機效能比50年前更強了，甚至對於解的估計也取得了進展。但這仍然是一個孤立問題，就算求出了一個解，也不會為下一個解提供任何線索，更難以幫助我們站在更高的角度理解這個問題。不光是x^3+y^3+z^3=k ，數論學家們研究的大多數方程看起來都沒有意義。這不禁讓我們產生疑問，這樣的代數方程看起來沒有任何特殊之處，為什麼我們偏要去求它們的整數解呢？
關於演算法的技術細節想必沒多少人會關心。我只想透過這篇文章給各位讀者一個初步的印象——數論不是複雜技巧，也不是冗長計算；我們在數論中尋找的是最深刻的數學關係。
亞歷山大港的溫暖夏夜
從古希臘時代人們就開始研究方程。比如最為有名的直角三角形：
3^2+4^2=5^2
小學生也能找到幾組整數解：（3， 4， 5）， （5， 12， 13）。這樣由整係數多項式組成的方程，從那時候起就是代數研究的中心。它們有的來源於幾何，也有不少純粹是出於人類的好奇心。其中做出奠基性貢獻的，當屬羅馬時代生活在亞歷山大港的希臘數學家，丟番圖（Diophantus of Alexandria）。為了紀念他，我們稱這些方程為丟番圖方程。關於丟番圖，或許讀者們還記得他的墓誌銘曾出現在小學數學題中：
墳中安葬著丟番圖。
多麼令人驚訝，它忠實地記錄了所經歷的道路。
上帝給予的童年佔六分之一，
又過十二分之一，兩頰長鬍，
再過七分之一，點燃起結婚的蠟燭。
五年之後天賜貴子，
可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓。
悲傷只有用數論（即算數，這兩者在古代是同一個詞）的研究去彌補，
又過四年，他也走完了人生的旅途。
丟番圖
還得靠業餘數學家
古希臘、古羅馬的數學隨著古老帝國的衰落而逐漸被人遺忘，丟番圖的作品要沉寂到千年以後，才能等到被另一位對數論情有獨鍾的數學家發揚光大。16世紀開始，《算數》才被逐漸翻譯為拉丁文。其中最有名的一個版本，是1621年由巴切特翻譯出版的：這本書曾經被皮埃爾·費馬擺在案頭。
被稱為“業餘數學家之王”的費馬可能比大多“專業數學家”都要強，其對機率論、微積分、解析幾何等分支都做出過開拓性貢獻。不過他心中的最愛還是被稱為數學的王冠——數論。在費馬生活的年代，數學並沒有什麼實際用途，而他純粹把這當玩具：或許就如同今天我們玩數獨一樣。每當有所發現，他就會寫在《算數》的頁邊上。費馬的很多註釋後來都演變成了重要的研究方向，其中最富盛名的當屬所謂的費馬大定理：
當整數n>2時，關於 x，y，z 的不定方程x^n+y^n=z^n 沒有正整數解。
他繼續寫道：關於這個問題，我確信我發現了一種絕妙的證法，可惜這裡的空白處太小，寫不下了。今天只流傳下來費馬對於n=4情況的證明，不過現代觀點普遍認為他當時不可能證明得了這個定理：300年後由安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）找到的證明所用到的方法遠非費馬時代可以想象。
費馬的工作正式宣佈，近代意義上的數論研究開始了。不過這些與現實沒有任何關係的數學並沒有發展動力——數學最忌諱的就是孤立的問題。無窮小分析可以憑藉直觀的函式影象與物理直覺；代數的抽象結構來自於數與多項式的自然結構。可是早期的數論卻不能找到更深刻的關係。難怪高斯會這樣評論費馬的問題：
我承認我對費馬的定理沒什麼興趣，這是個孤立的命題，像這樣沒人能證明也不能證偽的命題我隨手就能寫下一大串。
站在高斯的角度，他說的確實沒什麼毛病。費馬大定理或者別的任何丟番圖方程可解，或者不可解，對其他的數學分支貌似產生不了什麼影響。不過從高斯至今，我們對於數論的認識已經發生了翻天覆地的變化。數論的影響已經超出了“算數遊戲”的範疇哦，成為了現代數學賴以生存的源泉。
下金蛋的雞
據說曾有人問希爾伯特，為什麼不去證明費馬大定理。這位大數學家回答道：我可不想殺了這隻生金蛋的母雞。這句話足以證明費馬的無用之學對於數學有多麼巨大的影響。讀者肯定會有疑問，明明這篇文章是想解釋整數解的意義，為什麼要談那麼多費馬大定理？我們可以用希爾伯特的話來回答：
數學的藝術在於找到一個特例，其中隱含了所有推廣的胚芽。
在挑戰費馬大定理（或者費馬猜想）的過程中，人們發現了理想之於環論的中心地位，注意到虧格與有理點數量之間的神奇關係，還建立了模形式與橢圓曲線之間美妙聯絡。其任何一項成果，都比代數方程有沒有解這個問題本身重要的多。算術幾何整個學科都得感謝費馬在幾百年前興趣使然開始的研究。這樣我們就很難不去懷疑：這才僅僅是一個方程，如果我們能破解所有方程中隱藏的秘密，那豈不是能讓整個代數的冰山浮出水面？（費馬大定理只研究正解，所以嚴格來說不算丟番圖方程；後來也發現其存在諸多特殊之處，而大量丟番圖方程的重要性至今仍然未知）
夢 碎
希爾伯特是一位偉大的夢想家，他樂觀期待著數學的發展。在1900年的巴黎會議上，他提出了那著名的23個問題，其中第十個，便是關於丟番圖方程的：
任給一個丟番圖方程，是否存在一個通用的演算法可以判斷其是否有整數解？
希爾伯特內心深處一定堅信這樣的演算法是存在的。1930年，他作為當時最偉大的數學家，在故鄉柯尼斯堡接受了採訪。訪談的最後，他鏗鏘有力地道出了最理想主義的口號：
我們必須知道，我們必將知道。（Wir müssen wissen，wir werden wissen）
他不僅認為丟番圖方程全都能解，他還進一步猜想任何數學命題都是能被人類證明的。如同他的傳記中寫的那樣，希爾伯特就像是數學界的亞歷山大大帝，滿懷著夢想，要征服到世界的盡頭。可才過了一年，這個預言就被天才數學家哥德爾（Kurt Gödel）證明是錯的：公理體系的完備性是未知的，相容性也是未知的。不是數學方法不夠巧妙 ，也不是數學家不夠努力，而是數學本身的鴻溝隔絕了邏輯。人們逐漸開始懷疑，丟番圖方程也沒有萬能的解法，從而開始尋找演算法不存在的證據。
希爾伯特到了晚年，也不忍離開納粹統治下的祖國。法西斯主義者清除了大學中的猶太人及其親屬。無數學者不堪忍受瘋狂的民族主義而選擇背井離鄉，其中就包括了與希爾伯特亦師亦友的外爾、柯朗等人。哥廷根不再是那個全世界學者憧憬的聖地，“哥廷根之外無生活”的豪言也彷彿隔世。希爾伯特在孤獨中離開了人世，在他去世後的幾年裡，數學家們開始轉向研究丟番圖方程的不可解性。不過這項工作極其複雜，直到幾十年後的1970年，希爾伯特第十問才得以宣告不可解。此時希爾伯特的故鄉柯尼斯堡已經從地圖上消失，原本的城市成為了蘇聯領土加里寧格勒；與地圖的變化同時到來的，還有新的時代，新的技術，以及新的數學。
新的時代
如今正是數論及其相關學科發展迅猛的年代。數學家們對代數幾何充滿信心：近半個世紀的發現遠超過以往任何時代之和，而且發展勢頭也不像是要停下來的樣子。但即便如此，我們對於素數，丟番圖方程以及它們背後蘊含的深刻數學的瞭解仍僅是冰山一角。
或許可以打一個不恰當的比方。在物理學中，帶有“論”（Theory）的都是那些尚不完善的框架：廣義相對論不能重整化；量子場論沒有嚴格的數學基礎；弦論得不到實證，甚至某些推論與實驗還不相符；而”M理論”本身就是一個猜想。人類對宇宙的瞭解微乎其微，但正因如此，理論物理學家才會痴迷於其中的奧秘。對於整數論（Number Theory）而言也是相同的，它的未知等待著人們探索，它的美等待著人們發現。或許人類永遠都無法對整數有足夠多的瞭解，整數論也永遠不可能改名叫整數力學（Number Mechanics），不過我相信任何有志於數學的人，都能像費馬和丟番圖一樣，在數學中找到真正的快樂，以及自己人生的意義。
參考文獻
［1］ https：//phys。org/news/2021-03-sum-cubes-puzzle-solution。html
［2］ https：//www。pnas。org/content/pnas/118/11/e2022377118。full。pdf
［3］ https：//www。famousscientists。org/diophantus/［4］ 康斯坦絲·瑞德， 希爾伯特數學世界的亞歷山大。［5］ https：//www。britannica。com/biography/Pierre-de-Fermat。
［6］ Timothy Gowers， The Princeton companion to mathematics。