高中數學《11.1.5 旋轉體》微課精講+知識點+教案課件+習題
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知識點：
1.在中學我們只研直圓柱、直圓錐和直圓臺。
所以對圓柱、圓錐、圓臺的旋轉定義、實際上是直圓柱、直圓錐、直圓臺的定義。
這樣定義直觀形象，便於理解，而且對它們的性質也易推導。
對於球的定義中，要注意區分球和球面的概念，球是實心的。
等邊圓柱和等邊圓錐是特殊圓柱和圓錐，它是由其軸截面來定義的，在實踐中運用較廣，要注意與一般圓柱、圓錐的區分。
2.圓柱、圓錐、圓和球的性質
（1）圓柱的性質，要強調兩點：一是連心線垂直圓柱的底面；二是三個截面的性質——平行於底面的截面是與底面全等的圓；軸截面是一個以上、下底面圓的直徑和母線所組成的矩形；平行於軸線的截面是一個以上、下底的圓的弦和母線組成的矩形。
（2）圓錐的性質，要強調三點
①平行於底面的截面圓的性質：
截面圓面積和底面圓面積的比等於從頂點到截面和從頂點到底面距離的平方比。
②過圓錐的頂點，且與其底面相交的截面是一個由兩條母線和底面圓的弦組成的等腰三角形，其面積為：
易知，截面三角形的頂角不大於軸截面的頂角（如圖10-20），事實上，由BC≥AB，VC=VB=VA可得∠AVB≤BVC。
由於截面三角形的頂角不大於軸截面的頂角。
所以，當軸截面的頂角θ≤90°，有0°<α≤θ≤90°，即有
當軸截面的頂角θ>90°時，軸截面的面積卻不是最大的，這是因為，若90°≤α<θ<180°時，1≥sinα>sinθ>0。
③圓錐的母線l，高h和底面圓的半徑組成一個直徑三角形，圓錐的有關計算問題，一般都要歸結為解這個直角三角形，特別是關係式
l2=h2+R2
（3）圓臺的性質，都是從“圓臺為截頭圓錐”這個事實推得的，但仍要強調下面幾點：
①圓臺的母線共點，所以任兩條母線確定的截面為一等腰梯形，但是，與上、下底面都相交的截面不一定是梯形，更不一定是等腰梯形。
②平行於底面的截面若將圓臺的高分成距上、下兩底為兩段的截面面積為S，則
其中S1和S2分別為上、下底面面積。
的截面性質的推廣。
③圓臺的母線l，高h和上、下兩底圓的半徑r、R，組成一個直角梯形，且有
l2=h2+（R-r）2
圓臺的有關計算問題，常歸結為解這個直角梯形。
（4）球的性質，著重掌握其截面的性質。
①用任意平面截球所得的截面是一個圓面，球心和截面圓圓心的連線與這個截面垂直。
②如果用R和r分別表示球的半徑和截面圓的半徑，d表示球心到截面的距離，則
R2=r2+d2
即，球的半徑，截面圓的半徑，和球心到截面的距離組成一個直角三角形，有關球的計算問題，常歸結為解這個直角三角形。3。圓柱、圓錐、圓臺和球的表面積
3。（1）圓柱、圓錐、圓臺和多面體一樣都是可以平面展開的。
①圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖，是求其側面積的基本依據。
圓柱的側面展開圖，是由底面圖的周長和母線長組成的一個矩形。
②圓錐和側面展開圖是一個由兩條母線長和底面圓的周長組成的扇形，其扇形的圓心角為
③圓臺的側面展開圖是一個由兩條母線長和上、下底面周長組成的扇環，其扇環的圓心角為
這個公式有利於空間幾何體和其側面展開圖的互化
顯然，當r=0時，這個公式就是圓錐側面展開圖扇形的圓心角公式，所以，圓錐側面展開圖扇形的圓心角公式是圓臺相關角的特例。
（2）圓柱、圓錐和圓臺的側面公式為
S側=π（r+R）l
當r=R時，S側=2πRl，即圓柱的側面積公式。
當r=0時，S側=rRl，即圓錐的面積公式。
要重視，側面積間的這種關係。
（3）球面是不能平面展開的圖形，所以，求它的面積的方法與柱、錐、臺的方法完全不同。
推匯出來，要用“微積分”等高等數學的知識，課本上不能算是一種證明。
求不規則圓形的度量屬性的常用方法是“細分——求和——取極限”，這種方法，在學完“微積分”的相關內容後，不證自明，這裡從略。
4。畫圓柱、圓錐、圓臺和球的直觀圖的方法——正等測
（1）正等測畫直觀圖的要求：
①畫正等測的X、Y、Z三個軸時，z軸畫成鉛直方向，X 軸和Y軸各與Z軸成120°。
②在投影圖上取線段長度的方法是：在三軸上或平行於三軸的線段都取實長。
這裡與斜二測畫直觀圖的方法不同，要注意它們的區別。
（2）正等測圓柱、圓錐、圓臺的直觀圖的區別主要是水平放置的平面圖形。
用正等測畫水平放置的平面圓形時，將X軸畫成水平位置，Y軸畫成與X軸成120°，在投影圖上，X軸和Y軸上，或與X軸、Y軸平行的線段都取實長，在Z軸上或與Z軸平行的線段的畫法與斜二測相同，也都取實長。
5。關於幾何體表面內兩點間的最短距離問題
柱、錐、臺的表面都可以平面展開，這些幾何體表面內兩點間最短距離，就是其平面內展開圖內兩點間的線段長。
由於球面不能平面展開，所以求球面內兩點間的球面距離是一個全新的方法，這個最短距離是過這兩點大圓的劣弧長。
影片教學：
35：11
練習：
一、選擇題
1．下列說法正確的是（）
A．到定點的距離等於定長的點的集合是球
B．球面上不同的三點可能在同一條直線上
C．用一個平面截球，其截面是一個圓
D．球心與截面圓心（截面不過球心）的連線垂直於該截面
2．底面半徑為2且底面水平放置的圓錐被過高的中點平行於底面的平面所截，則截得的截面圓的面積為（）
A．πB．2π
C．3πD．4π
3．圓錐的母線長為5，底面半徑為3，則其側面積為（）
A．15 B．15π
C．24πD．30π
4．若圓臺的高為4，母線長為5，側面積為45π，則圓臺的上、下底面的面積之和為（）
A．9πB．36π
C．45πD．81π
5．一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的全面積與側面積之比為（）
A。1＋2π2πB。1＋4π4π
C。1＋2ππD。1＋4π2π
6．（易錯題）以鈍角三角形的較小邊所在的直線為軸，其它兩邊旋轉一週所得的幾何體是（）
A．兩個圓錐拼接而成的組合體
B．一個圓臺
C．一個圓錐
D．一個大圓錐挖去一個同底的小圓錐
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