數三——函式極限與連續

1、集合（集合，區間與鄰域）

集合：一般地，我們把具有某種特定性質的事物或物件的總稱為集合，組成集合的事物或物件成為該集合的元素。

一個集合，如果含有有限個元素，則稱為有限集，如果含有無限個元素，則稱為無限集；

如果不含有任何元素，則稱為空集，記作ø。

集合的表示方法通常有兩種：列舉法、描述法。

非負整數集（自然數集）：N；正整數集：N+；整數集：Z；有理數集：Q；實數集：R

區間：常見的實數集是區間：開區間，半開半閉區間，閉區間，無窮區間

鄰域：設δ為某個正數，稱開區間（X0-δ，X0+δ）為點X0的δ鄰域，簡稱點X0的鄰域，記作（X0，δ）點X0成為鄰域的中心，δ稱為鄰域的半徑；

去中心之後成為點X0的去心鄰域，分為左鄰域和右鄰域。

2、函式（定義，表示，性質，反函式/隱函式，複合/分段函式，初等函式）

定義：設x，y是兩個變數，D是給定的數集，如果對於每個x∈D，透過對應法則f，有唯一確定的y與之對應，則稱y是x的函式，記作y=f（x）。其中x是自變數，y是因變數，D是定義域，全體的函式值f（x）稱為函式的值域，記作Rf，即Rf={y|y=f（x）}，函式的記號可以任意選取。確定函式的兩要素：定義域和對應關係。

多值函式：一個自變數x透過法則f有確定的y與之對應，y值不唯一。

函式的性質：

（1）函式的有界性：若存在常數M>0，使得每一個x屬於I，有|f（x）|≤M，則稱函式f（x）在區域I上有界。

（2）函式的單調性：單調遞增或者單調遞減。

（3）函式的奇偶性：f（x）=f（-x）偶函式；f（x）=-f（-x）奇函式。

（4）函式的週期性f（x±l）=f（x），所有正週期中存在一個最小的正數稱為最小正週期。

反函式：y=f（x）的反函式為y=f-1（x）。性質：同增同減，關於直線y=x對稱。

複合函式：設y=f（u），u∈Df，函式u=g（x），x∈Dg，值域Rg含於Df，則y=f［g（x）］稱為由y=f（u），u=g（x）複合而成的複合函式，u為中間變數。

基本初等函式（六種）：

常數函式：y=C（C為常數）；冪函式：y=xa（a≠0）；

指數函式：y=ax（a＞0且a≠1）；對數函式：y=logax（a＞0且a≠1）；

三角函式：y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx、y=secx、y=cscx；

反三角函式：y=arcsinx、y=arccosx、y=arctanx、y=arccotx。

由基本初等函式經過有限次的四則運算和有限次的複合步驟所構成的並用一個式子表示的函式，稱為初等函式。

3、數列極限（概念，性質）極限存在的兩個準則

定義1：按照一定法則，使得任何一個正整數n對應一個確定的數an，那麼，我們稱這列有次序的數為數列，數列中的每一個數叫做數列的項，第n項an稱為數列的一般項或通項。

數列值an隨著n變化而變化，因此可以把數列{an}看成自變數為正整數n的函式，即an=f（n），n∈N+。數列{an}對應數軸上的一個點列，可看作一動點在數軸上一次取a1，a2，a3，a。。。。

定義2：設{an}是一數列，a是一常數，當n無限增大時，an無限接近於a，則稱a為數列{an}當n→∞時的極限，記作liman（n→∞）=a。

一般地，不論給定的正數ε多麼小，總存在一個正整數N，使得當n＞N時，不等式|an-a|＜ε都成立，這就是數列{an=（-1）n-1/n}當n→∞時極限存在的實質。

定義3：設{an}是一數列，a是一常數，如果對任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當n＞N時，不等式|an-a|＜ε都成立，則稱a為數列{an}的極限，或稱數列{an}收斂於a記作liman（n→∞）=a。反之，如果數列{an}極限不存在，則數列{an}發散。

性質：

①極限的唯一性：極限存在必定唯一。

②收斂數列的有界性：收斂一定有界，有界不一定收斂。

③收斂數列的保號性：如果liman（n→∞）=a，且a＞0（或a＜0），那麼存在正整數N，當n＞N時，有an＞0（或an＜0）。推論：如果數列{an}從某項起，有an≥0（或an≤0），且liman（n→∞）=a，那麼a≥0。

④夾逼準則：如果數列{an}，{bn}及{cn}滿足：（1）bn≤an≤cn；（2）limbn（n→∞）=a，limcn（n→∞）=a；那麼數列{an}的極限存在，且liman（n→∞）=a。

單調增加和單調減少的數列統稱為單調數列。

⑤單調有界準則：單調有界數列必有極限。

⑥若數列{an}收斂於a，則它的任一子列也收斂於a。