最後的解答：根號二的無限根號二次方，到底等於多少？

前面已經介紹過，下面兩個無窮項的表示式：

這兩個表示式在某種意義上具有“互逆性”，且都收斂，前者收斂到2，後者收斂到4。

2和4恰好是方程

的兩個根。

為什麼前者收斂到2，後者收斂到4呢？

追根溯源，這是函式不動點的問題。

函式的不動點，就是在函式的作用下沒有變動的一個數。例如，對於函式y=2x-1，不動點就是x=1，因為2*1-1還等於1。對於函式y=x，每個x都是不動點。

對於函式y=（√2）^x，x=2和x=4就是其兩個不動點。

關於不動點，有一個很有意思的定理，縮水版（一維版）的巴拿赫Banach不動點定理：

設函式f（x）在區間［a，b］上連續，對任意x1，x2∈［a，b］，滿足

|f（x1）-f（x2）|≤q|x1-x2|，其中0

1。f（x）在［a，b］上有且僅有一個不動點x*；

2。任取x0∈［a，b］，序列x0，f（x0），f（f（x0）），f（f（f（x0）））。。。。收斂，其的極限為x*。

結合拉格朗日中值定理，當f（x）導數存在時，條件可以改成導數f‘（x）的絕對值小於等於q即可。

巴拿赫Banach不動點定理又叫壓縮對映定理，在生活中的應用隨處可見，比如：

三維版：一杯水，各種攪拌（沒有溢位且假設物質連續無限可分的話），最後，總存在一小團水攪拌後與攪拌前的位置不變。二維版：一張紙，攤開放平，然後先Pia！（ｏ ‵-′）揉成一個團，再Pia！（ｏ ‵-′）壓成一個餅，把餅放到原來紙的位置，那麼這張紙上至少有一個位置前後不變。（不是說過程中位置不變，而是將最終狀態與初始狀態比較，位置不變。）

言歸正傳。

考察函式y=（√2）^x。容易知道，該函式在（-∞，2］上滿足不動點定理的假設，是一個壓縮對映，故有唯一不動點，x=2。在（2，+∞）上，函式不是壓縮對映，而是帶有放大性質的對映。

既然在（2，+∞）上，函式y=（√2）^x具有放大性質，那麼反過來，它的反函式，y=log_√2 x，就是一個壓縮對映，於是具有唯一的不動點，也就是x=4。

為了計算這個2或者4，只需要在相應的區間內任取一個初始值，然後不斷地用函式表示式進行迭代，迭代無窮多次，極限就是要求的不動點。這個不斷迭代的過程，可以寫成一個數列，也可以故弄玄虛，寫成嚇唬人的一大塊。

所以現在清楚了，看起來很嚇唬人的、包含無窮的表示式，其實反映的就是為了計算不動點而不斷迭代的過程。

下面還有幾個具有無窮迭代的表示式，

機智如你，一定可以創造出其他有趣的無窮迭代表達式~~~