機率測度的開始:帕斯卡和費馬如何解決骰子問題?

帕斯卡和費馬於1654年開始的一系列書信往來，似乎標誌著機率論這個數學分支第一次開啟了實質性研究。本文詳細介紹這件事，有三個原因：

第一，這是一次史無前例的研究；第二，它告訴我們，藉助等可能情況，某些看似複雜的問題有可能被簡化為直截了當的計算；第三，它引入了期望值這個重要概念，期望值是機率論這門學科的主要支柱之一。

帕斯卡和費馬解決的這些問題，在概念特色上不同於卡爾達諾和伽利略解決的那些問題。帕斯卡和費馬對公平性進行了定義，還對期望值進行了重點研究。

其中有兩個問題是帕斯卡的賭友梅內騎士（Chevalier de Méré）提出來的。帕斯卡把這兩個問題連同他自己的想法，都透過書信告訴了費馬。他們倆是透過梅森學院建立聯絡的，自從梅森（Marin Mersenne）神父於1635年建立了這家學院之後，包括伽利略、笛卡兒（Descartes）和萊布尼茨（Leibniz）在內的傑出數學家、科學家和哲學家都在這裡分享過研究成果。

骰子問題：一名玩家需要在8次拋擲骰子的賭局中擲出一個6 點。此時，投注金額已經確定，這名玩家已經拋擲了3次，但沒有一次是6 點。如果從賭注中拿出一定比例的錢給這名玩家，讓他放棄第4次的拋擲機會（僅放棄這一次），那麼給他多少錢才算公平？

在繼續閱讀之前，大家可以先考慮一個問題。假設在賭局開始之前，雙方約定在8次拋擲中率先擲出6點的玩家可以拿走桌上的10美元，那麼給你5美元，讓你放棄第4 次投擲機會，你願意接受嗎？這是否公平？

點數問題：兩名水平相當的玩家（我們可以假設他們拋擲的是一枚質地均勻的硬幣。）正在進行一場多局賭博。每贏一局就可以得到一點。他們一致同意，第一個達到特定點數的玩家獲勝，並贏得全部賭注。在進行了若干輪之後，賭局被打斷了。此時，如何分配賭注才算公平合理呢？

這兩個問題都是圍繞公平性闡述的。但是，

機率論中的公平性到底指什麼呢?

我們將會看到，帕斯卡和費馬隱晦地利用

期望值

的概念回答這個問題。

對賭注為V（x）、結果為x的賭局而言，期望值就是機率的加權平均：

期望值（V） = V（x1） p（x1） + V（x2） p（x2） + …

如果玩家對交易的期望值保持不變，就可以視其為公平交易，比如，拋擲質地均勻的硬幣。如果是正面朝上，你贏1，反之，你輸1。那麼，期望值為（+1）（1/2） + （–1）（1/2） = 0。

我們把這個概念應用到骰子問題上。桌上的賭注沒有變化，仍然是s。如果該玩家不放棄第4次拋擲的機會，那麼他一共還有5次機會。他的期望值為：

（第4次贏） （ 第4次輸，但在餘下的4次機會中贏1次）

費馬在信中建議玩家拿走1/6的賭注，然後放棄第4次拋擲的機會。在這種情況下，他的期望值是：

可以看出，兩者相同，因此用1/6的賭注作為玩家放棄第4次拋擲機會的收益是公平的。