「口袋數學」數學七上，壓軸題，行程問題，電子螞蟻運動到C 點
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01 典型例題
7。如圖1，已知數軸上有三點A、B、C，AB=60，點A對應的數是40．
（1）若BC：AC=4：7，求點C到原點的距離；
（2）如圖2，在（1）的條件下，動點P、Q兩點同時從C、A出發向右運動，同時動點R從點A向左運動，已知點P的速度是點R的速度的3倍，點Q的速度是點R的速度2倍少5個單位長度/秒．經過5秒，點P、Q之間的距離與點Q、R之間的距離相等，求動點Q的速度；
（3）如圖3，在（1）的條件下，O表示原點，動點P、T分別從C、O兩點同時出發向左運動，同時動點R從點A出發向右運動，點P、T、R的速度分別為5個單位長度/秒、1個單位長度/秒、2個單位長度/秒，在運動過程中，如果點M為線段PT的中點，點N為線段OR的中點．請問PT﹣MN的值是否會發生變化？若不變，請求出相應的數值；若變化，請說明理由．
【分析】（1）根據AB=60，BC：AC=4：7，得出BC=80，利用點A對應的數是40，即可得出點C對應的數；（2）假設點R速度為x單位長度/秒，根據點P、Q之間的距離與點Q、R的距離相等，得出等式方程求出即可；（3）分別表示出PR，MN的值，進而求出PT﹣MN的值．
【答案】（1）解：如圖1，∵AB=60，BC：AC=4：7，∴ BC/（BC+60）=4/7，解得：BC=80，
∵AB=60，點A對應的數是40，∴B點對應的數字為：﹣20，
∴點C到原點的距離為：80﹣（﹣20）=100
（2）解：如圖2，設R的速度為每秒x個單位，則
R對應的數為40﹣5x，P對應的數為﹣100+15x，Q對應的數為10x+15，
PQ=5x﹣115或115﹣5x，QR=15x﹣25，∵PQ=QR，∴5x﹣115=15x﹣25或115﹣5x=15x﹣25
解得：x=﹣9（不合題意，故舍去）或x=7，∴動點Q的速度是9個單位長度/秒．
（3）解：如圖3，設運動時間為t秒
P對應的數為﹣100﹣5t，T對應的數為﹣t，R對應的數為40+2t，PT=100+4t，
M對應的數為﹣50﹣3t，N對應的數為20+t，MN=70+4t
∴PT﹣MN=30，∴PT﹣MN的值不會發生變化，是30．
02 舉一反三
9。數軸上A 點對應的數為﹣5，B 點在A 點右邊，電子螞蟻甲、乙在B分別以2個單位/秒、1個單位/秒的速度向左運動，電子螞蟻丙在A 以3個單位/秒的速度向右運動．
（1）若電子螞蟻丙經過5秒運動到C 點，求C點表示的數；
（2）若它們同時出發，若丙在遇到甲後1秒遇到乙，求B 點表示的數；
（3）在（2）的條件下，設它們同時出發的時間為t 秒，是否存在t 的值，使丙到乙的距離是丙到甲的距離的2倍？若存在，求出t 值；若不存在，說明理由．
【分析】（1）根據電子螞蟻丙 運動的速度和時間結合點A的座標即可得出C點表示的數； （2） 設B表示的數為x， 則線段AB=x-（-5）=x+5，由時間=路程÷速度，根據甲丙相遇的時間與乙丙相遇的時間差為1列出方程
，解方程即可求出B點表示的數； （3）由應分兩種情況： ①在電子螞蟻丙與甲相遇前， 根據丙到乙的距離是丙到甲的距離的2倍 列出方程，解方程即可得出答案； ②在電子螞蟻丙與甲相遇後，根據丙到乙的距離是丙到甲的距離的2倍 列出方程，解方程即可得出答案。
【答案】 （1）解：由題知： C：﹣5+3×5＝10，即C點表示的數為10；
（2）解：設B表示的數為x，則B到A的距離為|x+5|，點B在點A的右邊，故|x+5|＝x+5，
由題得：
，即x＝15；
（3）解：①在電子螞蟻丙與甲相遇前，2（20﹣3t﹣2t）＝20﹣3t﹣t，此時t＝ 10/3（s）；
②在電子螞蟻丙與甲相遇後，2×5（t﹣4）＝20﹣3t﹣t，此時t＝ 30/7 （s）；
綜上所述，當t＝ 10/3 s或t＝ 30/7 s時，使丙到乙的距離是丙到甲的距離的2倍．
03 鞏固練習
13。甲、乙兩車從A，B兩地同時出發，沿同一條路線相向勻速行駛．出發後經2小時兩車相遇，已知在相遇時乙車比甲車多行駛了30千米．相遇後若乙車繼續往前行駛，還需1。6小時才能到達A地．
（1）求甲，乙兩車行駛的速度分別是多少？
（2）如果相遇後甲車繼續前往B地（到達後停止行駛），乙車在相遇點休息了10分鐘後，按原速度立即返回B地，問乙車重新出發後多長時間，兩車相距5千米？
【分析】（1） 設甲的速度為每小時
千米，則乙的速度為每小時（x+ 30/2）千米 ，則甲車兩小時所走的路程是2x千米，乙車1。6小時所走的路程為 1。6（x+ 30/2 ） 千米，根據甲車兩小時所走的路程=乙車1。6小時所走的路程，列出方程，求解即可；
（2）此題實質就是一個追擊問題， 設乙車重新出發後y小時兩車相距5千米 ，甲車所走的路程為 60（y+ 1/6 ） 千米，乙車所走的路程為 75y ，此題需要分類討論：①分追擊前兩車相距5千米，根據甲車所走的路程-乙車所走的路程=5，列出方程，求解即可；②追擊後兩車相距5千米，根據乙車所走的路程-甲車所走的路程=5，列出方程，求解並檢驗即可，綜上所述即可得出答案。
【答案】 （1）設甲的速度為每小時 x 千米，則乙的速度為每小時（x+ 30/2 ）千米
由題意可得2x=1。6（x+30/2 ），解得x=60，∴x+30/2 =75
答：甲的速度為60千米/小時，乙的速度為75千米/小時。
（2）設乙車重新出發後y小時兩車相距5千米
乙車重新出發後，甲車到達 B 地還需要的時間為2×75/60-1/6=7/3 小時
若乙車在甲車後5千米，則75y+5=60（y+1/6 ），解得y= 1/3
若乙車在甲車前5千米，則75y-5=60（y+ 1/6 ），解得y=1
即乙車重新出發後經過 1/3 小時或1小時兩車相距5千米。
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