透徹解析週期函式的性質

週期函式是常見且極其重要的一類函式，如三角函式。本文試圖對週期函式的常見性質進行具體地闡述，以幫助大家更好地認識週期函式，同時為傅立葉級數的講解提供知識基礎。

1。週期函式的定義

週期函式的定義：對函式f（x），若存在不為0的常數T，使得對於定義域內的任意x，都有f（x+T）=f（x），則函式f（x）為週期函式。

從週期函式的定義中，可以發現一個函式的週期T可正可負，並且週期T可以是有理數，也可以是無理數。如函式sinx的最小正週期為2П，該週期為無理數；而sin2Пx的最小正週期為1，該週期為有理數。

2。最小正週期

如果一個週期函式的所有周期中存在最小的正數，那麼這個最小的正數就為最小正週期。

以正弦函式sinx為例。

那麼是不是所有的週期函式都存在最小正週期呢？

不是。最典型的例子莫過於狄利克雷函式函式：

對於狄利克雷函式，任意一個有理數都是它的週期

，因此無最小正週期。

下面是對狄利克雷函數週期的討論，為什麼狄利克雷函式的週期是任意一個有理數？

3。f（ax）的週期

假設函式f（x）的週期為T，那麼函式f（ax）（其中a≠0）的週期呢？

若T是函式f（x）的週期，則f（ax）的週期為T/a。具體推導過程如下：

以正弦函式為例進行說明。

函式f（x）=sinx的最小正週期為2П，那麼函式sin2x的最小正週期為П。

4。f（x）+g（x）的週期

假設函式f（x）的週期為T1，函式g（x）的週期為T2，則函式f（x）+g（x）的週期如何呢？

答案是不一定有。且看下面的推導過程：

不妨舉個例子進行說明。

設f（x）=sinx，g（x）=cos2x。f（x）的最小正週期T1為2П，g（x）的最小正週期T2為П，則函式f（x）+g（x）的一個週期為2П。因為存在整數m=1，n=2，使得mT1=nT2。

5。T1+T2亦為週期

假設T1和T2均為函式f（x）的週期，且T1和T2之和不為0，則T1+T2亦為函式f（x）的週期。

週期函式的概念和性質不難理解。但是當週期函式和傅立葉級數結合起來時，很多人往往對週期函式的性質就不那麼確定了，這也導致了傅立葉級數理解方面的困難。

小編之所以在本文多次用正弦函式為例進行說明，主要是想告訴大家，正弦函式和餘弦函式是非常重要的週期函式，它們在傅立葉級數中扮演著極其重要的角色。三角函式學好了，那麼傅立葉級數就學好一半了。

下期小編將會帶來傅立葉級數的講解，其中會用到本文週期函式的部分性質。

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